Question

如图，以正方形ABCD的DC边为一边向外作一个等边三角形．
①求证：△ABE是等腰三角形；
②求∠BAE的度数．

Answer 1

分析：①根据正方形的四条边都相等，每一个角都是直角，求出AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，等边三角形的三条边都相等，三个角都是直角求出DE=CE，∠CDE=∠DCE=60°，再求出∠ADE=∠BCE=150°，然后利用“边角边”证明△ADE和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BE，从而得证；
②根据等腰三角形两底角相等求出∠DAE的度数，再根据∠BAE=∠BAD-∠DAE代入数据进行计算即可得解．

解答：①证明：在正方形ABCD中，AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
在等边△CDE中，DE=CE，∠CDE=∠DCE=60°，
所以，∠ADC+∠CDE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，
即∠ADE=∠BCE=150°，
在△ADE和△BCE中，

AD=BC ∠ADE=∠BCE DE=CE

，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE，
∴△ABE是等腰三角形；

②解：在△ADE中，AD=CD=DE，
∵∠ADE=150°，
∴∠DAE=

1

2

（180°-150°）=15°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=90°-15°=75°．

点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握各图形的性质求出△ADE≌△BCE是解题的关键．