【题目】如图1,抛物线与轴交于,两点,过点的直线分别与轴及抛物线交于点
(1)求直线和抛物线的表达式
(2)动点从点出发,在轴上沿的方向以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为秒,当为何值时,为直角三角形?请直接写出所有满足条件的的值.
(3)如图2,将直线沿轴向下平移4个单位后,与轴,轴分别交于,两点,在抛物线的对称轴上是否存在点,在直线上是否存在点,使的值最小?若存在,求出其最小值及点,的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1),;(2)或3或4或12;(3)存在,,,最小值
【解析】
(1)利用待定系数法求解即可;
(2)先求点D坐标,再求点C坐标,然后分类讨论即可;
(3)通过做对称点将折线转化成两点间距离,用两点之间线段最短来解答即可.
解:(1)把代入,
得
解得,
∴抛物线解析式为,
∵过点B的直线,
∴把代入,解得,
∴直线解析式为
(2)联立,解得或,所以,
直线:与轴交于点,则,
根据题意可知线段,则点
则,,
因为为直角二角形
①若,则,
化简得:,或
②若,则,
化简得
③若,则,
化简得
综上所述,或3或4或12,满足条件
(3)在抛物线上取点的对称点,过点作于点,交抛物线对称轴于点,过点作于点,此时最小
抛物线的对称轴为直线,则的对称点为,
直线的解析式为
因为,设直线:,
将代入得,则直线:,
联立,解得,则,
联立,解得,则,
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【题目】综合与实践
在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在中,,,,点为边上的任意一点.将沿过点的直线折叠,使点落在斜边上的点处.问是否存在是直角三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出此时的长度.
探究展示:勤奋小组很快找到了点、的位置.
如图2,作的角平分线交于点,此时沿所在的直线折叠,点恰好在上,且,所以是直角三角形.
问题解决:
(1)按勤奋小组的这种折叠方式,的长度为 .
(2/span>)创新小组看完勤奋小组的折叠方法后,发现还有另一种折叠方法,请在图3中画出来.
(3)在(2)的条件下,求出的长.
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【题目】图1是某浴室花洒实景图,图2是该花洒的侧面示意图.已知活动调节点B可以上下调整高度,离地面CD的距离BC=160cm.设花洒臂与墙面的夹角为α,可以扭动花洒臂调整角度,且花洒臂长AB=30cm.假设水柱AE垂直AB直线喷射,小华在离墙面距离CD=120cm处淋浴.
(1)当α=30°时,水柱正好落在小华的头顶上,求小华的身高DE.
(2)如果小华要洗脚,需要调整水柱AE,使点E与点D重合,调整的方式有两种:
①其他条件不变,只要把活动调节点B向下移动即可,移动的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系?直接写出你的结论;
②活动调节点B不动,只要调整α的大小,在图3中,试求α的度数.
(参考数据:≈1.73,sin8.6°≈0.15,sin36.9°≈0.60,tan36.9°≈0.75)
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【题目】如图1,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C.若tan∠ABC=3,一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2.
(1)求二次函数的解析式;
(2)直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止,l与线段BC交于点D,P是AD的中点.
①求点P的运动路程;
②如图2,过点D作DE垂直x轴于点E,作DF⊥AC所在直线于点F,连结PE、PF,在l运动过程中,∠EPF的大小是否改变?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,连结EF,求△PEF周长的最小值.
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【题目】某区为创建《国家义务教育优质均衡发展区》,自2016年以来加大了教育经费的投入,2016年该区投入教育经费9000万元,2018年投入教育经费12960万元,假设该区这两年投入教育经费的年平均增长率相同
(1)求这两年该区投入教育经费的年平均增长率
(2)若该区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算2019年该区投入教育经费多少万元
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【题目】如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t﹣5t2.下列叙述正确的是( )
A. 小球的飞行高度不能达到15m
B. 小球的飞行高度可以达到25m
C. 小球从飞出到落地要用时4s
D. 小球飞出1s时的飞行高度为10m
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【题目】如图是一组有规律的图案,它们是由边长相同的小正方形组成的,其中部分小正方形涂有阴影,依此规律,第2018个图案中涂有阴影的小正方形个数为( )
A.8073B.8072C.8071D.8070
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【题目】根据对宁波市相关的市场物价调研,某批发市场内甲种水果的销售利润y1(千元)与进货量x(吨)近似满足函数关系,乙种水果的销售利润(千元)与进货量x(吨)之间的函数关系近似于二次函数,函数图象如图所示.
(1)求出与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨,设乙水果的进货量为t吨,写出这两种水果所获得的销售利润之和W(千元)与t(吨)之间的函数关系式,并求出这两种水果各进多少吨时,获得的销售利润之和最大,最大利润是多少?
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【题目】(定义[a,b,c]为函数的特征数,下面给出特征数为 [2m,1-m,-1-m]的函数的一些结论:
①当m=-3时,函数图象的顶点坐标是(,);
②当m>0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于;
③当m<0时,函数在时,y随x的增大而减小;
④当m≠0时,函数图象经过x轴上一个定点.
其中正确的结论有________ .(只需填写序号)
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