Question

12．如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（1，0），直线y=$\frac{1}{2}x$-3与坐标轴交于C、D两点．
（1）求直线AB：y=kx+b与CD交点E的坐标；
（2）直接写出不等式kx+b＞$\frac{1}{2}$x-3的解集；
（3）求四边形OBEC的面积；
（4）利用勾股定理证明：AB⊥CD．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出直线AB的解析式，利用二元一次方程组求出点E的坐标；
（2）根据函数图象写出不等式kx+b＞$\frac{1}{2}$x-3的解集；
（3）根据坐标轴上点的特征求出C、D两点的坐标，根据三角形的面积公式计算即可；
（4）作EF⊥y轴于点F，根据勾股定理分别求出AE²、CE²、AC²，利用勾股定理的逆定理判断即可．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
故直线AB的解析式是y=-2x+2，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2}\\{y=\frac{1}{2}x-3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
故点E的坐标是（2，-2）；
（2）由图象可知，x＜2时，y=kx+b的图象在y=$\frac{1}{2}x$-3的图象的上方，
故不等式kx+b＞$\frac{1}{2}$x-3的解集是x＜2；
（3）y=$\frac{1}{2}x$-3，
当x=0时，y=-3，当y=0时，x=6，
则点C的坐标是（0，-3），点D的坐标是（6，0）
四边形OBEC的面积=△DOC的面积-△DBE的面积=$\frac{1}{2}$×6×3-$\frac{1}{2}$×5×2=4；
（4）过点E作EF⊥y轴于点F，
AE²=AF²+EF²=4²+2²=20，
CE²=CF²+EF²=2²+1²=5，
AC²=5²=25，
∴AE²+CE²=AC²，
∴△ACE是直角三角形，且∠AEC=90°
∴AB⊥CD．

点评 本题考查的是待定系数法求一次函数解析式、利用二元一次方程组求两条直线的交点、利用函数图象解不等式、勾股定理的逆定理的应用，掌握待定系数法的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键．