Question

（2013•宜兴市一模）如图1，正方形ABCD的边长为a（a为常数），对角线AC、BD相交于点O，将正方形KPMN（KN＞

1

2

AC）的顶点K与点O重合，若绕点K旋转正方形KPMN，不难得出，两个正方形重合部分的面积始终是正方形ABCD面积的四分之一．

（1）①在旋转过程中，正方形ABCD的边被正方形KPMN覆盖部分总长度是定值吗？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
②如图2，若将上题中正方形ABCD改为正n边形，正方形KPMN改为半径足够长的扇形，并将扇形的圆心绕点O旋转，设正n边形的边长为a，面积为S，当扇形的圆心角为

360

n

°时，两个图形重合部分的面积是

s

n

，这时正n边形的边被扇形覆盖部分的总长度为

a

．
（2）如图3，在正方形KNMP旋转过程中，记KP与AD的交点为E，KN与CD的交点为F．连接EF，令AE=x，S_△OEF=S，当正方形ABCD的边长为2时，试写出S关于x的函数关系式，并求出x为何值时S取最值，最值是多少．
（3）若将这两张正方形按如图4所示方式叠放，使K点与CD的中点E重合（AB≤

KM

2

），正方形ABCD以1cm/s的速度沿射线KM运动，当正方形ABCD完全进入正方形KPMN时即停止运动，正方形ABCD的边长为8cm，且CD⊥KM，求两正方形重叠部分面积y与运动时间t之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）①如图1，通过证明△EDO≌△FCO，由全都呢过三角形的性质就可以得出结论；
②如图2，由正n边形由n个全等的三角形，就可以得出S_△AOB=

S

n

，由四边形OEBF的面积=

S

n

，解可以得出S_△AOE=S_△BOF，根据这两个三角形的高相等，就可以得出AE=BF，就可以得出△AOE≌△BOF，就可以得出∠EOF=∠AOB，从而得出结论；
（2）如图3，由条件可以得出DF=x，ED=2-x，就可以求出S_△EFD的值，由四边形OEDF面积-S_△EFD的值，再根据二次函数的性质就可以得出结论；
（3）如图4，5，6，当0≤t＜4，4≤t＜8和8≤t≤12时，分别求出y与t的函数关系式即可．

解答：解：（1）①是定值a．
理由：
∵四边形ABCD和四边形KPMN都是正方形，
∴AD=DC=CB=DA，OC=OD=OA，∠DOC=∠PON=90°，∠ODE=∠OCF=45°
∴∠EOD=∠COF．
在△EDO和△FCO中，

∠ODE=∠OCF OD=OC ∠EOD=∠COF

，
∴△EDO≌△FCO（ASA）．
∴ED=CF．
∴ED+DF=CF+DF=CD=a
②∵正n边形由有n个全等的等腰三角形，
∴S_△AOB=S_△BOC=

S

n

，AB=BC，∠OAB=∠OBC．∠AOB=∠BOC=

360

n

．
∴△AOB和△BOC的高相等．
∵四边形OEBF=S_△OEB+S_△OFB=

S

n

．
∵S_△AOE+S_△EOB=

S

n

，
∴S_△AOE=S_△OFB．
∵△AOE和△OFB高相等，
∴△AOE和△OFB的底也相等，
∴AE=BF．
∴EB+BF=EB+AE=AB=a
在△AOE和△BOF中，

OA=OB ∠OAB=∠OBC AE=BF

，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴∠AOE=∠BOF，
∴∠EOF=∠AOB=

360°

n

．
故答案为：

3600

n

，a；

（2）∵DF=AE=x，ED+DF=AD=2，
∴DE=2-x．
∴S_△DEF=

x(2-x)

2

．
∵四边形OEDF=

1

4

×2×2=1
∴S=1-

1

2

x(2-x)
=

1

2

(x-1)2+

1

2

，
∴当x=1时，S_最小=

1

2

；

（3）由题意，分三种情况讨论：
如图4，当0≤t＜4时，y=

1

2

×t×2t=t²
如图5，当4≤t＜8时，y=

(t-4+t)×4

2

×2=8t-16；
如图6，当8≤t≤12时，EO=t-8，BG=4-OE=4-（t-8）=12-t，
∴S_△BGR=

(12-t)2

2

．
∴y=64-

(12-t)2

2

×2=-t²+24t-80．
∴y=

t2(0≤t＜4) 8t-16(4≤t＜8) =-t2+24t-80(8≤t≤12)

点评：本题考查了正方形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，分类讨论思想的运用，解答时证明三角形全等是解答的关键．