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【题目】如图,在ABC中,ACB=90°,AC=BC,点D在边AB上,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,连接AE.

(1)求证:ABAE;

(2)若BC2=ADAB,求证:四边形ADCE为正方形.

【答案】(1)根据旋转的性质得到DCE=90°,CD=CE,利用等角的余角相等得BCD=ACE,然后根据“SAS”可判断BCD≌△ACE,则B=CAE=45°,所以DAE=90°,即可得到结论。

(2)由于BC=AC,则AC2=ADAB,根据相似三角形的判定方法得到DAC∽△CAB,则CDA=BCA=90°,可判断四边形ADCE为矩形,利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形。

【解析】

(1)根据旋转的性质得到DCE=90°,CD=CE,利用等角的余角相等得BCD=ACE,然后根据“SAS”可判断BCD≌△ACE,则B=CAE=45°,所以DAE=90°,即可得到结论。

(2)由于BC=AC,则AC2=ADAB,根据相似三角形的判定方法得到DAC∽△CAB,则CDA=BCA=90°,可判断四边形ADCE为矩形,利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形。

证明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠B=BAC=45°。

线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,∴∠DCE=90°,CD=CE。

∵∠ACB=90°,∴∠ACB﹣ACD=DCE﹣ACD,即BCD=ACE。

BCD和ACE中,

∴△BCD≌△ACE(SAS)。∴∠B=CAE=45°。

∴∠BAE=45°+45°=90°。ABAE。

(2)BC2=ADAB,BC=AC,AC2=ADAB。

∵∠DAC=CAB,∴△DAC∽△CAB。∴∠CDA=BCA=90°。

∵∠DAE=90°,DCE=90°,四边形ADCE为矩形。

CD=CE,四边形ADCE为正方形。

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