Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．

    (1)试探索四边形EGFH的形状，并说明理由．

    (2)当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形?并加以证明．

(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）四边形EGFH是平等四边形

理由是：∵G、G、H分别是BE、BC、CE的中点，

∴GF//EH，GF=EH

∴四边形EGFH是平形四边形

（2）当点E是AD的中点，四边形EGFH是菱形。

证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠A=∠D

∵AE=DE，∴△ABE≌△DCE，∴BE=CE

∵G、H分别是BE、CE的中点，∴EG=EH

又由（1）知四边形EGFH是平等四边形，∴四边形EGFH是菱形

（3）EF⊥BC，EF=BC

证明：∵四边形EGFH是正方形，

∵EG=EH，∠BEC=90°

∵G、H分别是BE、CE的中点，∴EB=EC

∵F是BC的中点，

∴EF⊥BC，EF=BC