Question

3．如图1所示，在直角坐标系中，边长为12的等边△ABC的边BC在x轴上，BC边上的高AD在y轴上，点D与原点O重合，过D点作AB边的垂线，交AB边于点E，交AC的延长线于点M．
（1）求证：OC=MC；
（2）将等边△ABC整体沿x轴的正方向匀速平移，当点B到达原点O时，图形停止运动．若边AB与y轴交于点F，请思考并解决以下问题：
①如图2，延长CA交y轴于点G．如果△ABC平移的速度为每秒1个单位长度，当△AGF与△CDM全等时，平移了多长时间？
②在线段OC上取一点N，连接FN并延长交射线AC于点Q，是否存在一点N，使得CQ=FB？若存在，求线段ON的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质得：∠BAC=∠ABC=60°，再利用直角三角形的两锐角互余得：∠AME=∠COM=30°，所以OC=MC；
（2）①如图2，设平移t秒时，△AGF≌△CDM，先表示OC的长为6+t，根据30°角所对的直角边是斜边的一半列式可求得t的值；
②如图3，过Q作QH⊥x轴于H，则∠CHQ=90°，证明△BOF≌△CHQ和△FON≌△QHN，得ON=NH、OB=CH，根据等量代换可得结论．

解答 证明：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∵EM⊥AB，
∴∠AEM=∠BEO=90°，
∴∠AME=90°-60°=30°，∠EOB=90°-60°=30°，
∴∠AME=∠EOB，
∵∠EOB=∠COM，
∴∠AME=∠COM，
∴OC=MC；
（2）①设平移t秒时，△AGF≌△CDM，
则OD=t，
∵△ABC是等边三角形，AC=BC=12，
∵AD⊥BC，
∴CD=6，
∴AG=CD=6，
在Rt△OGC中，∵∠GCO=60°，
∴∠OGC=30°，
∴CG=2OC，
∴6+12=2（6+t），
t=3；
答：当△AGF与△CDM全等时，平移了3秒；
②如图3，过Q作QH⊥x轴于H，则∠CHQ=90°，
∵∠QCH=∠ACB=60°，∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠QCH，
∵BF=CQ，∠BOF=∠CHQ=90°，
∴△BOF≌△CHQ，
∴FO=HQ，OB=CH，
∵∠FNO=∠QNH，∠FON=∠NHQ=90°，
∴△FON≌△QHN，
∴ON=NH，
∴ON+NH=ON+NC+CH=ON+NC+OB=BC=12，
∴ON=$\frac{1}{2}$BC=6．

点评 本题是三角形的综合题，考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定及坐标与图形特点，要熟练掌握全等三角形的判定，要准确判断出所要证明的边或角相等是哪两个三角形全等所得；还利用作辅助线，构建两三角形全等也是本题的关键．