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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=3
    		3
    ，以BC边上点O为圆心，以OB为半径的圆分别精英家教网交边AB、BC于点M、N．连接MN．
    （1）请你探究：四条线段AB、BM、BC、BN之间的关系，并证明你的结论；
    （2）若M是AB边的中点，请你判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
    （3）设⊙O的半径为r，若改变点O在BC上的位置，试探究当半径r满足什么条件时，⊙O与边AC只有一个公共点．（直接写出答案）
    分析：（1）根据已知利用有两组角相等的两个三角形相似得到△BMN∽△BCA，从而不难得到四个边之间的关系；
    （2）连接OM，根据已知利用三角函数可得到△ACM是等边三角形，进而可推出OM⊥CM，因为OM是圆的半径，所以CM与⊙O相切；
    （3）当圆以BC的一半为半径或与边AC相切时，⊙O与边AC只有一个公共点．
    解答：精英家教网解：（1）
    AB
    NB
    =
    BC
    BM

    ∵BN是直径，
    ∴∠NMB=90°∠ACB=90°
    ∴∠NMB=∠ACB，∠B=∠B
    ∴△BMN∽△BCA
    ∴
    AB
    NB
    =
    BC
    BM
    ；（3分）

    （2）连接OM
    在Rt△ACB中，tanB=
    AC
    BC
    =
    1
    		3

    ∴∠B=30°
    ∴∠A=90°-30°=60°
    ∵M是AB的中点
    ∴MC=MA=
    1
    2
    AB
    ∴△ACM是等边三角形
    ∴∠CMA=60°
    ∴∠OMB=∠B=30°
    ∴∠CMO=180°-60°-30°=90°
    ∴OM⊥CM
    ∴CM是⊙O的切线；（4分）

    （3）
    3
    2
    		3
    ≤r≤2
    		3
    （2分）
    点评：此题主要考查学生对切线的判定，相似三角形的判定及圆与直线的位置关系等知识点的综合运用能力．
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    精英家教网已知如图，△ABC中，∠ACB=90°，△BCD中，∠D=90°，CD=BD，又AC=6，tan∠ABC=
    12
    ．求△BCD的面积．

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    7、已知如图，△ABC中，D在BC上，且∠1=∠2，请你在空白处填一个适当的条件：当
    ∠B=∠C（或∠ADB=∠ADC或 AD⊥BC或AB=AC）
    时，则有△ABD≌△ACD．

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    已知如图，△ABC中，BD⊥AC于D，tanA=
    12
    ，BD=3，AC=10．求sinC．

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    已知如图在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A的平分线交CD于F，BC于E，过点E作EH⊥AB于H．求证：EC=CF=EH．

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    已知如图：△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，则∠EDF=（　　）

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