Question

如图，已知⊙O是梯形ABCD的外接圆，DC∥AB，过A点作⊙O的切线交CD的延长线于E．求证：AD²=DE•AB．

Answer 1

证明：连接AC，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
又∵AE是⊙O的切线，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
而∠ADE是四边形ABCD的外角，
∴∠ADE=∠B，
∴△ABC∽△ADE．
∴AD：AB=DE：BC．
∵AB、CD是⊙O中的平行弦，
∴BC=AD，
∴AD²=DE•AB．
分析：连接AC，因为AB∥CD，所以∠1=∠2，由圆的内接四边形定理可证明∠ADE=∠B，进而证明△ABC∽△ADE，所以AD：AB=DE：BC．因为AB、CD是⊙O中的平行弦，所以BC=AD，所以AD²=DE•AB．
点评：本题利用了圆周角定理，垂径定理的运用，以及平行线的性质和相似三角形的判定和性质．