(9分)(2014•云南)已知如图平面直角坐标系中,点O是坐标原点,矩形ABCO是顶点坐标分别为A(3,0)、B(3,4)、C(0,4).点D在y轴上,且点D的坐标为(0,﹣5),点P是直线AC上的一动点.
(1)当点P运动到线段AC的中点时,求直线DP的解析式(关系式);
(2)当点P沿直线AC移动时,过点D、P的直线与x轴交于点M.问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当点P沿直线AC移动时,以点P为圆心、R(R>0)为半径长画圆.得到的圆称为动圆P.若设动圆P的半径长为,过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F.请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF?若存在,请求出最小面积S的值;若不存在,请说明理由.
(1)y=x﹣5 (2)点M的坐标为(,0)或(,0) (3)四边形DEPF面积的最小值为
【解析】
试题分析:(1)只需先求出AC中点P的坐标,然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式.
(2)由于△DOM与△ABC相似,对应关系不确定,可分两种情况进行讨论,利用三角形相似求出OM的长,即可求出点M的坐标.
(3)易证S△PED=S△PFD.从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE.由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣.根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:当DP⊥AC时,DP最短,此时DE也最短,对应的四边形DEPF的面积最小.借助于三角形相似,即可求出DP⊥AC时DP的值,就可求出四边形DEPF面积的最小值.
【解析】
(1)过点P作PH∥OA,交OC于点H,如图1所示.
∵PH∥OA,
∴△CHP∽△COA.
∴==.
∵点P是AC中点,
∴CP=CA.
∴HP=OA,CH=CO.
∵A(3,0)、C(0,4),
∴OA=3,OC=4.
∴HP=,CH=2.
∴OH=2.
∵PH∥OA,∠COA=90°,
∴∠CHP=∠COA=90°.
∴点P的坐标为(,2).
设直线DP的解析式为y=kx+b,
∵D(0,﹣5),P(,2)在直线DP上,
∴
∴
∴直线DP的解析式为y=x﹣5.
(2)①若△DOM∽△ABC,图2(1)所示,
∵△DOM∽△ABC,
∴=.
∵点B坐标为(3,4),点D的坐标为(0.﹣5),
∴BC=3,AB=4,OD=5.
∴=.
∴OM=.
∵点M在x轴的正半轴上,
∴点M的坐标为(,0)
②若△DOM∽△CBA,如图2(2)所示,
∵△DOM∽△CBA,
∴=.
∵BC=3,AB=4,OD=5,
∴=.
∴OM=.
∵点M在x轴的正半轴上,
∴点M的坐标为(,0).
综上所述:若△DOM与△CBA相似,则点M的坐标为(,0)或(,0).
(3)∵OA=3,OC=4,∠AOC=90°,
∴AC=5.
∴PE=PF=AC=.
∵DE、DF都与⊙P相切,
∴DE=DF,∠DEP=∠DFP=90°.
∴S△PED=S△PFD.
∴S四边形DEPF=2S△PED
=2×PE•DE
=PE•DE
=DE.
∵∠DEP=90°,
∴DE2=DP2﹣PE2.
=DP2﹣.
根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:
当DP⊥AC时,DP最短,
此时DE取到最小值,四边形DEPF的面积最小.
∵DP⊥AC,
∴∠DPC=90°.
∴∠AOC=∠DPC.
∵∠OCA=∠PCD,∠AOC=∠DPC,
∴△AOC∽△DPC.
∴=.
∵AO=3,AC=5,DC=4﹣(﹣5)=9,
∴=.
∴DP=.
∴DE2=DP2﹣
=()2﹣
=.
∴DE=,
∴S四边形DEPF=DE
=.
∴四边形DEPF面积的最小值为.
科目:初中数学 来源:2014-2015学年四川省七年级上学期12月月考数学试卷(解析版) 题型:填空题
定义一种对正整数n的“F”运算:①当n为奇数时,结果为3n+5;②当n为偶数时,结果为(其中k是使为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如:取n=26,则:
若,则第201次“F”运算的结果是 .
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年江苏省八年级上学期第二次单元测数学卷(解析版) 题型:选择题
若等腰三角形有两条边的长度为3和1,则此等腰三角形的周长为( )
A.5 B.7 C.5或7 D.6
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科目:初中数学 来源:2014年初中毕业升学考试(云南昆明卷)数学(解析版) 题型:填空题
(3分)(2014•昆明)如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(1,3),将线段OA向左平移2个单位长度,得到线段O′A′,则点A的对应点A′的坐标为 .
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科目:初中数学 来源:2014年初中毕业升学考试(云南昆明卷)数学(解析版) 题型:选择题
(3分)(2014•昆明)如图,在△ABC中,∠A=50°,∠ABC=70°,BD平分∠ABC,则∠BDC的度数是( )
A.85° B.80° C.75° D.70°
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科目:初中数学 来源:2014年初中毕业升学考试(云南卷)数学(解析版) 题型:解答题
(9分)(2014•云南)为了解本校九年级学生期末数学考试情况,小亮在九年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本,分为A(100~90)、B(89~80分)、C(79~60分)、D(59~0分)四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如下统计图,请你根据统计图解答以下问题:
(1)这次随机抽取的学生共有多少人?
(2)请补全条形统计图;
(3)这个学校九年级共有学生1200人,若分数为80分(含80分)以上为优秀,请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有多少?
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科目:初中数学 来源:2014年初中毕业升学考试(云南卷)数学(解析版) 题型:填空题
(3分)(2014•云南)写出一个图象经过一,三象限的正比例函数y=kx(k≠0)的解析式(关系式) .
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科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)九年级上3.3圆心角2(解析版) 题型:解答题
如图,在⊙O中,与相等,OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E,且OD=OE,那么△ABC是什么三角形,为什么?
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科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)九年级上3.3圆心角1(解析版) 题型:?????
如图,A是半圆上的一个二等分点,B是半圆上的一个六等分点,P是直径MN上的一个动点,⊙O半径r=1,则PA+PB的最小值是( )
A.2 B. C. D.
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