Question

20．如图，设ABCD为任意给定的四边形，边AB、BC、CD、DA的中点分别为E，F，G，H．求证：
（1）EG与HF互相平分；
（2）S_ABCD≤EG•HF．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位线判断出EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，FG∥BD，FG=$\frac{1}{2}$BD用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，再借助图形面积的和差即可．

解答 解：（1）如图1，

连接EF，FG，GH，EH，BD，
∵点E，H分别是边AB，AD中点，
∴EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，
同理：FG∥BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EG与HF互相平分；
（2）∵EH∥BD，
∴S_△AEH=$\frac{1}{4}$S_△ABD，
同理：S_△CFG=$\frac{1}{4}$S_△BCD，
∴S_△AEH+S_△CFG=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，
同理：S_△BEF+S_△DHG=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，
∴S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}+$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，
∴S_{平行四边形EFGH}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，
∴S_{四边形ABCD}=2S_{平行四边形EFGH}
设△EFH的边FH上的高为h，△GFH的边FH上的高为h'，
∴EG≥h+h'（EG与FH垂直时，取等号）
∴S_{平行四边形EFGH}=S_△EFH+S_△GFH=$\frac{1}{2}$FH×h+$\frac{1}{2}$FH×h'=$\frac{1}{2}$FH（h+h'），
∴S_{四边形ABCD}=2S_{平行四边形EFGH}=FH（h+h'）≤EG•HF．

点评 此题是中点四边形，主要考查了三角形的中位线，平行四边形的判定，相似三角形的性质，解本题的关键是将四边形ABCD的面积转化成平行四边形EFGH的面积．