Question

以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）求证：AM²=AD•DM；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求PD，根据AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM求解；
（2）由（1）计算的数据进行证明；
（3）根据（2）的结论得：

AM

AD

=

DM

AM

，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．

解答：（1）解：在Rt△APD中，PA=

1

2

AB=1，AD=2，
∴PD=

AD2+AP2

=

5

，
∴AM=AF=PF-PA=PD-PA=

5

-1，
DM=AD-AM=2-（

5

-1）=3-

5

；

（2）证明：∵AM²=（

5

-1）²=6-2

5

，AD•DM=2（3-

5

）=6-2

5

，
∴AM²=AD•DM；

（2）点M是AD的黄金分割点．理由如下：
∵AM²=AD•DM，
∴

AM

AD

═

DM

AM

=

5 -1

2

，
∴点M是AD的黄金分割点．

点评：此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．