Question

【题目】如图，CE是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交CE延长线于点A，连接DE，过点O作OB∥ED，交AD的延长线于点B，连接BC．

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；

（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，由DE∥BO，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通过证明△DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，问题得证；

（2）根据三角函数tan∠DEO=tan∠2=，设OC=r，BC=r，得到BD=BC=r，由切割线定理得到AD=2，再根据平行线分线段成比例得到比例式即可求得结果．

解：（1）连接OD，

∵DE∥BO，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∵OD=OE，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△DOB与△COB中，

，

∴△DOB≌△COB，

∴∠OCB=∠ODB，

∵BD切⊙O于点D，

∴∠ODB=90°，

∴∠OCB=90°，

∴AC⊥BC，

∴直线BC是⊙O的切线；

（2）∵∠DEO=∠2，

∴tan∠DEO=tan∠2=，

设OC=r，BC=r，

由（1）证得△DOB≌△COB，

∴BD=BC=r，

由切割线定理得：AD2=AEAC=2（2+r），

∴AD=2，

∵DE∥BO，

∴，

∴，

∴r=1，

∴AO=3．