Question

1．如图，菱形ABCD的对角线交于O点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若AD=5，BD=8，计算tan∠DCE的值．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的性质可得AC⊥BD，进而得到四边形OCED是矩形；
（2）首先根据菱形的性质可得OD=$\frac{1}{2}$BD=4，OC=OA，AD=CD，然后再根据勾股定理可计算出DE=OC=3，再利用三角函数定义可得答案．

解答 （1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形OCED是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=8，
∴OD=$\frac{1}{2}$BD=4，OC=OA，AD=CD，
∵AD=5，
∴OC=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵四边形OCED是矩形，
∴DE=OC=3，
在Rt△DEC中，sin∠DCE=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{3}{5}$．

点评 此题主要考查了菱形的性质，以及矩形的判定；熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质，由勾股定理求出OC是解决问题（2）的关键．