Question

已知△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，点E为AB上一点，且∠EDB=∠B，现有下列两个结论：①AB=AD+CD ②AB=AC+CD．
（1）如图1，若∠C=90°，则结论

②

成立，并证明你的结论．
（2）如图2，若∠C=100°，则结论

①

成立，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由∠C=90°，AC=BC得到∠B=45°，再由∠EDB=∠B得到∠DEB=90°，BE=DE，即DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DE=DC，然后利用“HL”可证明Rt△ACD≌Rt△AED，则AC=AE，于是AB=AE+BE=AC+CD；
（2）由∠C=100°，AC=BC得到∠B=∠CAB=40°，再由∠EDB=∠B得到∠DEB=100°，BE=DE，则∠AED=80°，然后根据角平分线的定义得∠DAE=20°，于是利用三角形内角和定理可计算出∠ADE=80°，所以AD=AE，于是AB=AE+BE=AD+CD．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵∠EDB=∠B，
∴∠DEB=90°，BE=DE，
∴DE⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中

AD=AD DC=DE

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+CD，所以②正确；

（2）∵∠C=100°，AC=BC，
∴∠B=∠CAB=40°，
∵∠EDB=∠B，
∴∠DEB=100°，BE=DE，
∴∠AED=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=20°，
∴∠ADE=180°-80°-20°=80°，
∴AD=AE，
过点D作DF⊥AC于点F，作DH⊥AB于点H，
∴DF=DH，
易得△CDF≌△EDH，
∴CD=DE，
∴CD=BE，
∴AB=AE+BE=AD+CD，所以①正确．
故答案为②；①．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的判定与性质．