Question

3．抛物线C₁：y=a（x+1）（x-3a）（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，-3）
（1）求抛物线C₁的解析式及A，B点坐标；
（2）求抛物线C₁的顶点坐标；
（3）将抛物线C₁向上平移3个单位长度，再向左平移n（n＞0）个单位长度，得到抛物线C₂，若抛物线C₂的顶点在△ABC内，求n的取值范围．
（在所给坐标系中画出草图C₁）

Answer 1

分析 （1）根据已知点的坐标代入已知的函数的解析式即可利用待定系数法确定二次函数的解析式；
（2）由（1）中的函数解析式即可求出抛物线C₁的顶点坐标；
（3）首先根据平移确定平移后的函数的解析式，然后确定抛物线C₂的顶点坐标；结合图形确定n的取值范围即可．

解答 解：（1）∵抛物线C₁：y=a（x+1）（x-3a）y轴交于点C（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3a），
解得a=1（舍去负值）．
∴抛物线C₁的解析式为：y=（x+1）（x-3）．
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）∵y=（x+1）（x-3）=（x-1）²-4，
∴该抛物线的解析式为y=（x-1）²-4，则该抛物线的顶点坐标为（1，-4）．
（3）将（1）中求得的抛物线向上平移3个单位长度，
再向左平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线y=（x-1+n）²-1，
∴平移后抛物线的顶点坐标是（1-n，-1），
∴-$\frac{2}{3}$＜1-n＜2，
解得-1＜n＜$\frac{5}{3}$，
∵n＞0，
∴0＜n＜$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，题目中还渗透了数形结合的数学思想，这也是中考中常常出现的重要的数学思想，应加强此类题目的训练．