Question

13．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A （-1，a），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△AOB的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求a、k的值；
（2）若一次函数y=mx+n图象经过点A和反比例函数图象上另一点C （t，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），且与x轴交于M点，求AM的值；
（3）在（2）的条件下，如果以线段AM为一边作等边△AMN，顶点N在一次数函数y=bx上，则b=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据点A的坐标以及三角形的面积公式即可求出a值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k的值；
（2）根据反比例函数解析式可求出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AM的解析式，令线AM的解析式中y=0求出x值，即可得出点M的坐标，再利用勾股定理即可求出线段AM的长度；
（3）设点N的坐标为（m，n），由等边三角形的性质结合两点间的距离公式即可得出关于m、n的二元二次方程组，解方程组即可得出n与m之间的关系，由此即可得出b值．

解答 解：（1）∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×1×a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=$\sqrt{3}$．
∴点A（-1，$\sqrt{3}$）．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A （-1，$\sqrt{3}$），
∴k=-$\sqrt{3}$．
（2）∵C （t，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）在反比例函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象上，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t=-$\sqrt{3}$，解得：t=3，
∴C（3，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
将A（-1，$\sqrt{3}$）、C（3，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）代入y=mx+n中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=-m+n}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}=3m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{n=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AM的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
令y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$中y=0，则x=2，
∴M（2，0）．
在Rt△ABM中，AB=$\sqrt{3}$，BM=2-（-1）=3，
∴AM=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
（3）设点N的坐标为（m，n），
∵△AMN为等边三角形，且AM=2$\sqrt{3}$，A（-1，$\sqrt{3}$），M（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{AN=\sqrt{（m+1）^{2}+（n-\sqrt{3}）^{2}}=2\sqrt{3}}\\{MN=\sqrt{（m-2）^{2}+{n}^{2}}=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：n=$\sqrt{3}$m．
∵顶点N（m，n）在一次数函数y=bx上，
∴b=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形的面积公式、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及解二元二次方程组，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）求出点M的坐标；（3）根据等边三角形的性质找出关于m、n的二元二次方程组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形的性质利用两点间的距离公式找出点的横纵坐标之间的关系是关键．