Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC．
（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：；

（2）如图②，若，求的值．

Answer 1

（1）先根据圆周角定理可得∠BAC＝∠BPC＝60°，即可证得△ABC为等边三角形，则可得∠ACB＝60°，由点P是弧AB的中点，可得∠ACP＝30°，再结合∠APC＝∠ABC＝60°即可求得结果；（2）

试题分析：（1）先根据圆周角定理可得∠BAC＝∠BPC＝60°，即可证得△ABC为等边三角形，则可得∠ACB＝60°，由点P是弧AB的中点，可得∠ACP＝30°，再结合∠APC＝∠ABC＝60°即可求得结果；
（2）连接AO并延长交PC于F，过点E作EG⊥AC于G，连接OC．由AB＝AC可得AF⊥BC，BF＝CF．由点P是弧AB中点可得∠ACP＝∠PCB，即可得到EG＝EF．由∠BPC＝∠FOC可得sin∠FOC＝sin∠BPC=．设FC＝24a，根据勾股定理可得OC＝OA＝25a，则OF＝7a，AF＝32a．在Rt△AFC中，根据勾股定理可表示出AC的长，在Rt△AGE和Rt△AFC中，根据三角函数的定义求解即可．
（1）∵弧BC＝弧BC
∴∠BAC＝∠BPC＝60°．
又∵AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形
∴∠ACB＝60°，
∵点P是弧AB的中点，
∴∠ACP＝30°，
又∠APC＝∠ABC＝60°，
∴AC＝AP；
（2）连接AO并延长交PC于F，过点E作EG⊥AC于G，连接OC．

∵AB＝AC，
∴AF⊥BC，BF＝CF．
∵点P是弧AB中点，
∴∠ACP＝∠PCB，
∴EG＝EF．
∵∠BPC＝∠FOC，
∴sin∠FOC＝sin∠BPC=．
设FC＝24a，则OC＝OA＝25a，
∴OF＝7a，AF＝32a．
在Rt△AFC中，AC²＝AF²+FC²，
∴AC＝40a．
在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝，
∴，
∴EG＝12a．
∴tan∠PAB＝tan∠PCB=．
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.