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    2．如图①，在△ABC中，点P在最大边AC上，点Q在线段AB或AB的延长线上，连接BP，PQ，若△AQP∽△BCP，则称点P、Q为AC、AB边上的一对“相似点”．
    （1）如图①，在△ABC中，点P、Q为AC、AB边上的一对“相似点”，找出一个与△ABC相似的三角形，并加以证明；
    （2）如图①，在△ABC中，点P、Q为AC、AB边上的一对“相似点”，若AP=BC，求证：点P为线段AC的黄金分割点（即CP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AP）；
    （3）如图②，在等腰△ABC中，AB=BC=12，AC=18，在线段AB上找出一点P，在射线AB上找出一点Q，使点P、Q为AC、AB边上的一对“相似点”，并求出CP和BQ的长．

    分析 （1）根据题意得出△AQP∽△BCP，由相似三角形的性质得出∠A=∠PBC，再由∠C=∠C，即可得出△BPC∽△ABC；
    （2）由（1）得：△BPC∽△ABC，由相似三角形的性质得出$\frac{CP}{BC}=\frac{BC}{AC}$，设CP=x，AP=BC=y，则$\frac{x}{y}=\frac{y}{x+y}$，求出x=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$y，得出$\frac{CP}{AP}=\frac{x}{y}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可；
    （3）过点B作∠CBP=∠A，BP交AC于点P；过点P作∠QPA=∠BPC，PQ交AB的延长线于于点Q，则P、Q即为所求的点；得出△AQP∽△BCP∽△ACB，得出对应边成比例$\frac{CP}{BC}=\frac{BC}{AC}$，$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，即可求出CP和AQ，即可得出BQ的长．

    解答 （1）解；△BPC∽△ABC；理由如下：
    ∵△ABC中，点P、Q为AC、AB边上的一对“相似点”，
    ∴△AQP∽△BCP，
    ∴∠A=∠PBC，
    又∵∠C=∠C，
    ∴△BPC∽△ABC；

    （2）证明：由（1）得：△BPC∽△ABC，
    ∴$\frac{CP}{BC}=\frac{BC}{AC}$，
    设CP=x，AP=BC=y，
    则$\frac{x}{y}=\frac{y}{x+y}$，
    解得：x=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}y$（负值舍去），
    ∴x=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$y，
    ∴$\frac{CP}{AP}=\frac{x}{y}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
    ∴点P为线段AC的黄金分割点（即CP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AP）；

    （3）解：过点B作∠CBP=∠A，BP交AC于点P；过点P作∠QPA=∠BPC，PQ交AB的延长线于于点Q，
    则P、Q即为所求的点；
    如图所示：
    根据题意得：△AQP∽△BCP∽△ACB，
    ∴$\frac{CP}{BC}=\frac{BC}{AC}$，$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，
    即$\frac{CP}{12}=\frac{12}{18}$，$\frac{18-CP}{12}=\frac{AQ}{18}$，
    解得：CP=8，AQ=15，
    ∴BQ=AQ-AB=15-12=3．

    点评 本题是相似性综合题目，考查了新定义“相似点”、相似三角形的判定与性质、黄金分割点等知识；熟练掌握新定义和相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．

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