Question

【题目】如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点D，E是BD的中点，延长AE与CB的延长线相交于点F．

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）若BE＝5，BF＝12，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）利用直角三角形斜边中线的性质和等边对等角得到∠EAB＝∠EBA，结合⊙O的切线得出OA⊥AF，从而得出AF是⊙O的切线；

（2）先根据勾股定理求得EF的长，再根据切线的性质得出EB＝EA＝5，即可求得AF的长，然后根据切割线定理求得FC，进而得出BC的长，根据E是BD的中点，得出BD的长，最后根据勾股定理即可求得CD的长．

解：（1）连接AB，OA，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°，

∵DB是⊙O的切线，

∴DB⊥BC，

∴∠DBO＝90°，

在RT△ABD中，E是斜边BD的中线，

∴AE＝DE＝BE，

∴∠EAB＝∠EBA，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∴∠EAB+∠OAB＝∠EBA+∠OBA

∴∠EAO＝∠DBO＝90°，

∴OA⊥AF，

∴AF是⊙O的切线；

（2）∵在RT△BEF中，BE＝5，BF＝12，

∴EF＝＝13，

∵FA、DB是⊙O的切线，

∴EA＝EB＝5，

∴AF＝EF+EA＝13+5＝18，

∵AF2＝FBFC，

∴FC＝

∴BC＝FC﹣FB＝27﹣12＝15，

∵E是BD的中点，

∴BD＝2BE＝10，

在RT△DBC中，．