Question

如图，已知线段AB=a，点C在直线AB上，AC=3AB．
（1）用尺规作图画出点C；
（2）若点P在线段BC上，且BP：PC=2：3，D为线段PC的中点，求BD的长（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若AD=3cm，求a的值．

Answer 1

考点：两点间的距离,列代数式

专题：计算题

分析：（1）分两种情况画图：点C在线段AB的延长线上或C点在线段AB的反向延长线上；
（2）对于图1，BC=2a，由BP：PC=2：3可计算出BP=

2

5

BC=

4

5

a，PC=

3

5

BC=

6

5

a，再由D为线段PC的中点得到PD=

1

2

PC=

3

5

a，然后利用BD=BP+PD计算得BD=

7

5

a；
对于图2，BC=4a，由BP：PC=2：3可计算得BP=

2

5

BC=

8

5

a，PC=

3

5

BC=

12

5

a，再由D为线段PC的中点得到PD=

1

2

PC=

6

5

a，然后利用BD=BP+PD计算可得BD=

14

5

a；
（3）对于图1，先得到CD=PD=

3

5

a，再计算出AD=AC-CD=

12

5

a，则

12

5

a=3，然后解方程即可；
对于图2，先得到CD=PD=

14

5

a，利用计算出AD=BC-CD=

6

5

a，则

6

5

a=3，然后解方程即可．

解答：解：（1）如图所示：
当点C在线段AB的延长线上，如图1；

当C点在线段AB的反向延长线上时，如图2；
；
（2）对于图1，

∵AB=a，
∴AC=3a，
∴BC=2a，
∵BP：PC=2：3，
∴BP=

2

5

BC=

2

5

•2a=

4

5

a，PC=

3

5

BC=

6

5

a，
∵D为线段PC的中点，
∴PD=

1

2

PC=

3

5

a，
∴BD=BP+PD=

4

5

a+

3

5

a=

7

5

a；
对于图2，

BC=AB+AC=4a，
∵BP：PC=2：3，
∴BP=

2

5

BC=

2

5

•4a=

8

5

a，PC=

3

5

BC=

12

5

a，
∵D为线段PC的中点，
∴PD=

1

2

PC=

6

5

a，
∴BD=BP+PD=

8

5

a+

6

5

a=

14

5

a；
（3）对于图1，CD=PD=

3

5

a，AD=AC-CD=3a-

3

5

a=

12

5

a=3，解得a=

5

4

（cm）；
对于图2，CD=PD=

14

5

a，AD=BC-CD=4a-

14

5

a=

6

5

a=3，解得a=

5

2

（cm）．

点评：本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．也考查了列代数式和分类讨论的思想．