Question

21、如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．

Answer 1

分析：因为△ABE和△ACD中的边是等边三角形△ABC和△ADE一些边，因此很容易证得两组对应边相等，再根据等边三角形中角都为60°，可证得一组对应角相等，从而证得全等；根据平行四边形的判定一组对边平行且相等是平行四边形，根据条件可证EF∥DC，EF=DC．

解答：证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，
即：∠EAB=∠DAC，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；

（2）证明：∵△ABE≌△ACD，
∴BE=DC，∠EBA=∠DCA，
又∵BF=DC，
∴BE=BF．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DCA=60°，
∴△BEF为等边三角形．
∴∠EFB=60°，EF=BF
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠EFB，
∴EF∥BC，即EF∥DC，
∵EF=BF，BF=DC，
∴EF=DC，
∴四边形EFCD是平行四边形．

点评：本题考查全等三角形的判定和性质，以及平行四边形的判定定理．