Question

如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是△ABC的高，∠BAD=∠CAE．
（1）AE是⊙O的直径吗？说明理由．
（2）若AC=15，AB=20，AD=12，求AE的长．
（3）在（2）的条件下，点F是AB上的一个动点，请探究点F到四边形ABEC两条对角线的距离之和是否变化？若变化说明理由；若不变，求出这个距离之和的值．

Answer 1

考点：圆周角定理,矩形的判定,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）连结EC，由AD是△ABC的高得∠BDA=90°，即∠ABD+∠BAD=90°，再根据圆周角定理得∠ABC=∠AEC，加上∠BAD=∠CAE，所以∠AEC+∠EAC=90°，则∠ACE=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径得到AE是⊙O的直径；
（2）证明△ABD∽△AEC，利用相似比可计算出AE=25；
（3）先根据勾股定理计算出BD=16，CD=9，则BC=BD+CD=25，所以BC为⊙O的直径，于是可判断四边形ABEC为矩形，则△OAB为等腰三角形，根据等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高得到FH+FM=AD=12．

解答：解：（1）AE是⊙O的直径．理由如下：
连结EC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BDA=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵∠ABC=∠AEC，∠BAD=∠CAE，
∴∠AEC+∠EAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∴AE是⊙O的直径；
（2）∵∠ABD=∠AEC，∠BDA=∠ACE=90°，
∴△ABD∽△AEC，
∴

AB

AE

=

AD

AC

，即

20

AE

=

12

15

，
∴AE=25；
（3）点F到四边形ABEC两条对角线的距离之和不变化．
在Rt△ABD中，BD=

AB2-AD2

=

202-122

=16，
在Rt△ADC中，CD=

AC2-AD2

=

152-122

=9，
∴BC=BD+CD=25，
∴BC为⊙O的直径，
∴四边形ABEC为矩形，
∴点F为等腰三角形OAB底边上一点，
∴FH+FM=AD=12．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质和矩形的判定与性质．