Question

4．在平面直角坐标系中，如图所示，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC绕着点B按顺时针方向旋转得到△EDB，使得点E落在x轴的正半轴上，连结CE、AD、
（1）求证：AD=CE；
（2）求AD的长；
（3）求过C、E两点的直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）由三角形DBE是由三角形ABC旋转得到的，利用等边三角形的性质及平角定义求出∠DBC=60°，利用SAS得到三角形ABD与三角形BCE全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）作DF⊥AE，交x轴于点F，利用三线合一得到F为BE的中点，由BE长求出BF的长，在直角三角形BDF中，利用勾股定理求出DF的长，在直角三角形ADF中，利用勾股定理求出AD的长即可；
（3）作CG⊥AB，交x轴于点G，利用三线合一得到G为AB中点，求出AG与CG的长，表示出C坐标，再由AB+BE求出AE的长，表示出E坐标，设过C，E的直线解析式为y=kx+b，把C与E坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式．

解答 （1）证明：∵△ABC为边长为2的等边三角形，
∴∠ACB=∠CBA=∠BAC=60°，AC=AB=BC=2，
∵△DBE是由△ABC绕着点B按顺时针方向旋转得到的，
∴△DBE也是边长为2的等边三角形，
∴∠DBC=180°-60°-60°=60°，AB=BC，BD=BE，
在△ABD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBE=120°}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE；
（2）解：作DF⊥AE，交x轴于点F，则F为BE的中点，即BF=1，
在Rt△BDF中，BD=2，BF=1，
根据勾股定理得：DF=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△ADF中，AF=AB+BF=3，DF=$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得：AD=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$；
（3）解：作CG⊥AB，交x轴于点G，则G为AB中点，即AG=1，CG=DF=$\sqrt{3}$，
∴C（1，$\sqrt{3}$），
∵AE=AB+BE=4，
∴E（4，0），
设过C与E的直线解析式为y=kx+b，
把C与E坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\sqrt{3}}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
则过C，E两点的直线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一性质，以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．