Question

【题目】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，tanD＝2，点E是射线CD上一动点(不与点C重合)，将△BCE沿着BE进行翻折，点C的对应点记为点F．

(1)如图1，当点F落在梯形ABCD的中位线MN上时，求CE的长.

(2)如图2，当点E在线段CD上时，设CE＝x，，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域.

(3)如图3，联结AC，线段BF与射线CA交于点G，当△CBG是等腰三角形时，求CE的长．

Answer 1

【答案】(1)；(2)(0＜x≤10)；(3)CE的长为或 或．

【解析】

(1)把BE与MN的交点记为点O，根据折叠的性质以及梯形中位线定理，可判定△EFO是等边三角形，即可得出∠FEB＝60°，即∠CEB＝60°，进一步在Rt△ECB中，利用60°角的三角函数即可求出EC的长；

(2)把BE与CF的交点记为点P，根据BE是CF的垂直平分线，可得，易证△ECP∽△CBP，然后利用相似三角形的性质即可得出y与x之间的函数关系式；

(3)当△CBG是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①GB＝GC；②CB＝CG；③BC＝BG，分别根据折叠的性质以及直角三角形的边角关系，求得CE的长．

解：(1)把BE与MN的交点记为点O，如图1，

∵梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠C＝90°，

由翻折得∠CEB＝∠FEB，∠EFB＝∠C＝90°，

∵MN是梯形ABCD的中位线，∴MN∥AB∥CD，

∴∠CEB＝∠FOE，，

∴∠FEB＝∠FOE，∴FE＝FO，

∵∠EFB＝90°，EO＝BO，∴FO＝EO，

∴FE＝FO＝EO，∴△EFO是等边三角形，

∴∠FEB＝60°，∴∠CEB＝60°，

∴在Rt△ECB中，；

(2)把BE与CF的交点记为点P，如图2，

由翻折得，BE是CF的垂直平分线，

即∠EPC＝∠BPC＝90°，，

∴S△EFC＝2S△EPC，S△BFC＝2S△BPC，

∴，

∵∠ECP+∠BCP＝90°，∠CBP+∠BCP＝90°，∴∠ECP＝∠CBP，

又∵∠EPC＝∠BPC＝90°，∴△ECP∽△CBP，

∴

∴(0＜x≤10)；

(3)当△CBG是等腰三角形时，存在三种情况：

①当GB＝GC时，延长BF交CD于点H，如图3，

∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，∴AC＝10，

∵GB＝GC，∴∠GBC＝∠GCB，

∵∠HCB＝90°，∴∠CHB+∠GBC＝90°，

∵∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠GCB＝90°，

∴∠CHB＝∠CAB，∴，

∵∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠CAB＝90°，∠ABG+∠GBC＝90°，

∴∠CAB＝∠GBA，∴GA＝GB，∴GA＝GC，

∵AB∥CD，∴，∴CH＝AB＝6，

∵CE＝x，∴EF＝x，HE＝6﹣x，

∵∠HFE＝90°，∴，

解得，即；

②当CB＝CG＝8时，AG＝10﹣8＝2，

∵AB∥CD，∴，∴CH＝4AB＝24，

∵CE＝x，∴EF＝x，HE＝24﹣x，

∵∠HFE＝∠HCB＝90°，∴，

解得，即；

③当BC＝BG时，F点与G点重合，如备用图，

由翻折可得，BE垂直平分线段GC，

∵∠CBE+∠BCA＝90°＝∠CAB+∠BCA，∴∠CBE＝∠CAB，

∴，

∴，解得，

综上所述，CE的长为或或．