Question

【题目】已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．若CP=4，求边AB的长；

（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，连接BP，求证△ABP是等边三角形；

（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

Answer 1

【答案】（1）边AB的长为10．（2）证明见解析;（3）不变，长度为.

【解析】（1）①由四边形ABCD是矩形可得∠C=∠D=90°，根据互余可得∠APD=∠POC，所以△OCP∽△PDA，②根据△OCP∽△PDA可求出CP=4，BC=8，设OP=x，在Rt△PCO中，由勾股定理可得x=5，从而AB=AP=2OP=10；（2）连接BP，证△ADP≌△BCP，由折叠可证得△ABP是等边三角形 ；（ 3）作MQ∥AN，交PB于点Q，可证得△MFQ≌△NFB，所以QF=BF，然后可得EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，而PB==4，所以EF=PB=2．

解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，DC=AB，∠C=∠D=90°．

由折叠可得：AP=AB．设OP=x，则：OB=x，CO=8﹣x．

在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．

解之得：x=5．

设AB=CD=y=AP，则DP=y﹣4．

在Rt△PAD中，∵∠D=90°，AP=y，DP=y﹣4，AD=8，∴y2=（y﹣4）2+82．

解之得：y=10．∴边AB的长为10．

（2）如图1，连接BP

∵P是CD边的中点，∴DP=PC,易证△ADP≌△BCP,∴AP=BP

由折叠可知AP=AB, ∴AP=BP=AB, ∴△ABP是等边三角形

（3）过点M作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．

∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．

∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．

∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．

在△MFQ和△NFB中，

∠QMF=∠BNF，∠QFN=∠BFN，BN=QM，

∴△MFQ≌△NFB．

∴QF=BF．∴QF=QB．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．

由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．

∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2 .

“点睛”此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形．