Question

12．已知点A（-1，0），点B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90°．抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，且顶点为M．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在抛物线及对称轴上分别取点D、H，若以B、A、D、H为顶点的四边形为平行四边形，求出此时点D的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点N，使得△BCN的面积等于4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△AOC∽△COB可求得OC的长，可求得C点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当AB为对角线时，由A、B关于对称轴对称可知，AB为平行四边形的对角线，可知满足条件的D点坐标抛物线的顶点，利用（1）中所求抛物线解析式可求得D点坐标；当AB为边时，则可知AB=HD，设出D点坐标，则可得到关于D点坐标的方程，可求得D点坐标；
（3）过N作NM∥y轴，交BC于点M，由B、C坐标可求得直线BC的解析式，设出N点坐标，则可表示出M点坐标，从而可表示出MN的长，则可表示出△BCN的面积，由条件可求得D点坐标．

解答 解：
（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠ACO=∠OBC，且∠AOC=∠COB，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{CO}{BO}$，
∵A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∴OC²=OA•OB=4，即OC=2，
∴C（0，2），
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）当AB为对角线时，
∵A、B关于对称轴对称，D在抛物线，H在对称轴上，
∴AB为四边形AHBD的对角线，
∴D点为抛物线的顶点坐标，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴D点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$）；
当AB为边时，则有AB∥DH，且AB=DH，
设D（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），则DH=|x-$\frac{3}{2}$|，
∵A（-1，0），B（4，0），
∴AB=5，
∴|x-$\frac{3}{2}$|=5，解得x=$\frac{13}{2}$或x=-$\frac{7}{2}$，
此时点D的坐标为（$\frac{13}{2}$，-$\frac{75}{8}$）或（-$\frac{7}{2}$，-$\frac{75}{2}$）；
综上可知D点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$）或（$\frac{13}{2}$，-$\frac{75}{8}$）或（-$\frac{7}{2}$，-$\frac{75}{2}$）；
（3）如图，过N作NM∥y轴，交BC于点M，

∵B（4，0），C（0，2），
∴可设直线BC解析式为y=kx+2，
把B点坐标代入可得0=4k+2，解得k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线BC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
设N（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），则M（x，-$\frac{1}{2}$x+2），
∴MN=|-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2-（-$\frac{1}{2}$x+2）|=|-$\frac{1}{2}$x²+2x|，
∴S_△BCN=$\frac{1}{2}$MN•OB=$\frac{1}{2}$×4|-$\frac{1}{2}$x²+2x|=2|-$\frac{1}{2}$x²+2x|=|-x²+4x|，
当S_△BCN=4时，则有|-x²+4x|=4，解得x=2或x=2+$\sqrt{2}$或x=2-$\sqrt{2}$，
∴存在满足条件的点N，这样的点有三个．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积及方程思想等知识．在（1）中求得C点坐标是解题的关键，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）用N点坐标表示出△BCN的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．