Question

4．在平面直角坐标系轴，A（-3，0），B（0，-1），⊙C是过A，B两点的圆，⊙C与y轴的另一个交点为M．
（1）如图1，当⊙C与x轴相切时，求tan∠CBM的值；
（2）如图2，点N是⊙C上异于A、B、M的点；
①当点C在y轴上时，求△BMN面积的最大值；
②当tan∠MBN=$\frac{3}{4}$时，|BM-BN|的值是否随着⊙C大小的变化而变化？若不变，请求出|BM-BN|的值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设⊙C的半径为r，连接CA，CB，过C作CD⊥y轴于D，由BD²+CD²=BC²，可得（r-1）²+3²=r²，进而得到BD=4，根据tan∠CBM=$\frac{CD}{BD}$进行计算即可；
（2）①当点C在y轴上时，设半径CA=CB=r，则CO=r-1，由CO²+AO²=AC²，可得（r-1）²+3²=r²，进而得到BM=2r=10，过N作NE⊥BM于E，连接NC，根据△BMN的面积=$\frac{1}{2}$BM×NE≤$\frac{1}{2}$BM×NC，即可得出当E与C重合时，BMN的面积最大；
②根据当圆心C移动到G（-3，-5）时，圆与x轴相切，连接GA，GB，延长GA交⊙C于F，过G作GH⊥y轴于H，根据tan∠HBG=$\frac{3}{4}$=tan∠MBN，可得点N在直线GB上，根据CR=CS，可知AF=BN，进而得到|BM-BN|=|BM-AF|=2BO=2．

解答 解：（1）设⊙C的半径为r，
如图1，连接CA，CB，过C作CD⊥y轴于D，则四边形ACDO是矩形，BD=$\frac{1}{2}$BM，
∴CD=AO=3，DO=CA=r，BD=r-1，CB=CA=r，
由BD²+CD²=BC²，可得（r-1）²+3²=r²，
解得r=5，
∴BD=4，
∴tan∠CBM=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{3}{4}$；

（2）①如图2，当点C在y轴上时，设半径CA=CB=r，则CO=r-1，
由CO²+AO²=AC²，可得（r-1）²+3²=r²，
解得r=5，
∴BM=2r=10，
过N作NE⊥BM于E，连接NC，则NE≤NC，
∴△BMN的面积=$\frac{1}{2}$BM×NE≤$\frac{1}{2}$BM×NC，
∴当E与C重合时，NE=NC，△BMN的面积最大，
此时，△BMN的面积=$\frac{1}{2}$BM×NC=25，

②当tan∠MBN=$\frac{3}{4}$时，|BM-BN|的值不随⊙C大小的变化而变化，理由如下：
由（1）知，当圆心C移动到G（-3，-5）时，圆与x轴相切，如图3，
连接GA，GB，延长GA交⊙C于F，过G作GH⊥y轴于H，
∴AF∥BM，
由CG垂直平分AB，可得GC平分∠FGB，
∵GH=3，HB=4，
∴tan∠HBG=$\frac{3}{4}$=tan∠MBN，
∴∠HBG=∠MBN，
∴点N在直线GB上，
过C作CR⊥GF于R，CS⊥GN于S，则CR=CS，
∴AF=BN，
∴|BM-BN|=|BM-AF|=2BO=2，
故当tan∠MBN=$\frac{3}{4}$时，|BM-BN|的值不随⊙C大小的变化而变化，|BM-BN|=2．

点评 本题属于圆的综合题，主要考查了垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理的运用，三角形的面积的计算以及锐角三角函数的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解．