Question

4．已知反比例函数${y_1}=\frac{k}{x}$的图象与一次函数y₂=2x+b  的图象交于点A（1，4）和点B（m，-2）．
（1）求k，b及m的值；
（2）观察图象，直接写出y₁＞y₂时自变量x的取值范围；
（3）若点C（4，n）在反比例函数的图象上，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标利用待定系数法即可求出k、b的值，再由点B的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m值；
（2）根据两函数图象的上下位置关系即可找出y₁＞y₂时自变量x的取值范围；
（3）由点C的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点C的坐标，过点C作CD∥x轴，交直线AB于点D，根据点D的纵坐标利用一次函数图象上点的坐标特即可求出点D的坐标，根据S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC即可求出△ABC的面积．

解答 解：（1）∵点A（1，4）在${y_1}=\frac{k}{x}$的图象上，
∴4=$\frac{k}{1}$，
∴k=4；
∵点A（1，4）在y₂=2x+b的图象上，
∴4=2×1+b，
∴b=2；
∵点B（m，-2）在${y_1}=\frac{4}{x}$的图象上，
∴m=$\frac{4}{-2}$=-2．
（2）观察函数图象可知：当 0＜x＜1或x＜-2时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴当 0＜x＜1或x＜-2时，y₁＞y₂成立．
（3）在${y_1}=\frac{4}{x}$中令x=4可得y=1，
∴点C（4，1）．
过点C作CD∥x轴，交直线AB于点D，如图所示．
在y₂=2x+2中令y=1得x=-$\frac{1}{2}$，
∴D（-$\frac{1}{2}$，1），
∴DC=4-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{9}{2}$．
∴S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3+$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×5=18．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点的问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次（反比例）函数解析式，解题的关键是：（1）由点A的坐标利用待定系数法求出一次（反比例）函数解析式；（2）根据两函数图象的上下位置关系解不等式；（3）将△ABC分割成△ADC和△BDC．