如图1.在矩形ABCD中.AB=3.BC=4.点E.F.G.H分别是线段AB.BC.CD.DA上的点.分别以EF.GH所在直线为对称轴.把△BEF.△DGH作轴对称变换得△MEF.△NGH.点M.N恰好在对角线AC上.且AM=CN．(1)如图2.当BM⊥AC时.线段EF的长为$\frac{5}{2}$.连接EH.FG.四边形EFGH的形状为菱形．(2)如图3.当EM⊥AB时.①求线段MN� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，DA上的点，分别以EF，GH所在直线为对称轴，把△BEF，△DGH作轴对称变换得△MEF，△NGH，点M，N恰好在对角线AC上，且AM=CN．
（1）如图2，当BM⊥AC时，线段EF的长为$\frac{5}{2}$，连接EH，FG，四边形EFGH的形状为菱形．
（2）如图3，当EM⊥AB时，
①求线段MN的长；
②求证：NG⊥CD．
（3）当MN=1时，求四边形EFGH的面积．

分析（1）利用轴对称的性质，得到BM⊥EF，利用相似三角形的性质得出$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BO}{BM}$=$\frac{1}{2}$，利用勾股定理，代入即可得出EF的值，利用平行四边形的判定，相似三角形的性质，中位线的性质，判断出四边形为菱形；
（2）利用轴对称的性质，相似三角形性质，代入数据即可求得MN的长，利用全等三角形的判定，轴对称性质得∠ABM=∠EMB=∠DNG=∠CDN，得∠AEM=∠NGC=90°，NG⊥CD；
（3）构建直角三角形，利用锐角三角函数得AI，MI，把求不规则图面积转化为规则图型面积，代入数据可得结果，注意分类讨论．

解答（1）解：如图1，设BM与EF相交于点O，
∵把△BEF，△DGH作轴对称变换得△MEF，△NGH，
∴BM⊥EF，
∵BM⊥AC，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BO}{BM}$=$\frac{1}{2}$，
∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5，
∴EF=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{5}{2}$；
同理得：GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}AC$，
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵△BEF∽△BAC，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{EF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，BE=AE=$\frac{1}{2}AB$，
AH=DH=$\frac{1}{2}$AD，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD，
∵BD=AC，
∴EH=EF，
∴四边形EFGH为菱形，
故答案为：$\frac{5}{2}$，菱形；

（2）解：①设AE=x，BE=3-x，
∵△BEF作轴对称变换得△MEF，
∴EM=BE=3-x，
∵ME⊥AB，
∴∠AEM=90°，
∵∠ABC=90°
∴∠AEM=∠ABC，
∵∠MAE=∠BAC，
∴△MAE∽△CAB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{ME}{BC}$，
∴$\frac{x}{3}$=$\frac{3-x}{4}$，
解得x=$\frac{9}{7}$，
∴ME=$\frac{12}{7}$，
∴AM=$\frac{15}{7}$，
∴MN=AC-AM-CN=5-$\frac{15}{7}$-$\frac{15}{7}$=$\frac{5}{7}$；

②证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAC=∠DCN，
在△MAB和△NCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAM=∠CDN}\\{AM=CN}\end{array}\right.$，
∴△MAB≌△NCD（SAS），
∴∠ABM=∠CDN，
∵△BEF，△DGH作轴对称变换得△MEF，△NGH，
∴∠ABM=∠EMB=∠DNG=∠CDN，
∴∠AEM=∠NGC=90°，
∴NG⊥CD；

（3）解：∵MN=1，
∴AM=CN=2或3，
当AM=CN=2时，如图4，过点M作MI⊥AB于I，
∵cos∠BAC=$\frac{3}{5}$，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，
∴AI=2×$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{5}$，MI=2×$\frac{4}{5}$=$\frac{8}{5}$，
设EM=BE=x，则EI=$\frac{9}{5}$-x，
在Rt△EIM中，EI²+MI²=EM²，
即（$\frac{9}{5}$-x）²+（$\frac{8}{5}$）²=x²，解得x=$\frac{29}{18}$，
∴AE=3-$\frac{29}{18}$=$\frac{25}{18}$，
同理可得：FB=DH=$\frac{29}{16}$，FC=AH=$\frac{35}{16}$，DG=$\frac{29}{18}$，GC=$\frac{25}{18}$，
∴四边形EFGH的面积=S_矩形ABCD-S_△AEH-S_△EBF-S_△FCG-S_△HDG，
=3×4-$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{18}$×$\frac{35}{16}$×2-$\frac{1}{2}$×$\frac{28}{18}$×$\frac{29}{16}$×2=$\frac{145}{24}$，
当AM=CN=3时，如图5，即点E和点A重合，点G与点C重合，
所以CM=AN=2，则CF=AH=$\frac{5}{2}$，四边形EFGH的面积=$\frac{5}{2}$×3=$\frac{15}{2}$，
综上所述，四边形EFGH的面积为$\frac{145}{24}$或$\frac{15}{2}$．

点评本题主要考查了轴对称的性质，相似三角形性质，中位线的性质等，利用轴对称性质，掌握多边形面积的计算方法是解决此题的关键．

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