Question

已知直线AB绕着点A顺时针旋转α°到AG，作B点关于直线AG的对称点I，交直线AG于点F，连结DI交直线AG于点H
（1）如图1，当α=30°时，连BD，则∠BDI=

 

．
（2）如图2，连CH，求证：CH⊥AG；
（3）如图3，当α=60°，若AB=

2

，则CH=

 

．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）如图1，作辅助线，证明AI=AB，∠IAB=2∠FAB=60°；证明∠AID=∠ADI=15°，即可解决问题．
（2）如图2，作辅助线，证明∠AIH=∠ADH=∠ABH，得到A、H、B、D四点共圆；由∠BCD=∠BAD=90°，得到A、H、B、C、D在以BD为直径的圆上，问题即可解决．
（3）如图3，由勾股定理求得AC=2；由直角三角形的边角关系得到：CH=AC•sin75°=2×

2 + 6

4

=

2 + 6

2

．

解答：解：（1）如图，连接AI；由题意知：

AI=AB，∠IAB=2∠FAB=60°；
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，AD=AI，
∴∠AID=∠ADI=

180°-90°-60°

2

=15°，
∴∠BDI=90°-15°=75°．

（2）如图2，连接AC、AI、BH．

∵B、I关于直线AG对称，
∴AG垂直平分BI，
∴AI=AB，HI=HB，
∴∠ABI=∠AIB，∠HBI=∠HIB，
∠AIH=∠ABH；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°；
∴AI=AB=AD，
∴∠AIH=∠ADH=∠ABH；
∴A、H、B、D四点共圆；而∠BCD=∠BAD=90°，
∴A、H、B、C、D在以BD为直径的圆上，
∴∠AHC=∠ABC=90°，
∴CH⊥AG．

（3）如图3，连接AC；

由题意知：AB=BC=

2

，∠ABC=90°，
由勾股定理得：AC2=(

2

)2+(

2

)2，
∴AC=2；由（2）知CH⊥AH；
∵∠GAC=60°+45°=105°，
∴∠HAC=180°-105°=75°；
∵sin∠HAC=

CH

AC

，
∴CH=AC•sin75°=2×

2 + 6

4

=

2 + 6

2

．

点评：该题以正方形为载体，以旋转变换为方法，以正方形的性质、线段垂直平分线的性质、四点共圆的判定、直角三角形的边角关系等重要几何知识点为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．