Question

如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，AB=

20

，且AC：BD=2：3．
（1）求AC的长；
（2）求△AOD的面积．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：几何图形问题

分析：（1）由“平行四边形的对角线互相平分”得到AO：BO=2：3，所以在直角△AOB中，利用勾股定理来求OA的长度，则AC=2OA；
（2）△AOD与△AOB是等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．

解答：解：（1）如图，在?ABCD中，OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD．
∵AC：BD=2：3，
∴AO：BO=2：3，
故设AO=2x，BO=3x，则在直角△ABO中，由勾股定理得到：OB²-OA²=AB²，即9x²-4x²=20，
解得，x=2或x=-2（舍去），
则2x=4，即AO=4，
∴AC=2OA=8；

（2）如图，S_△AOB=

1

2

AB•AO=

1

2

×

20

×4=4

5

．
∵OB=OD，
∴S_△AOD=S_△AOB=4

5

．

点评：本题考查了平行四边形的性质．此题利用了“平行四边形的对角线相互平分”和“等底同高的两个三角形相等”的性质进行解题的．