【题目】小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论:
(1)如图①, ∠A=∠C=90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是 ;
(2)如图②, ∠A=∠C=90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是 ;
(3)如图③, ∠A=∠C=90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是 . 请你完成命题 (3)证明.
【答案】(1)BE⊥DE; (2)BE//DF; (3)BE⊥DE.证明见解析.
【解析】
(1)由∠A=∠C=90°可以得到∠HDC=∠ABH,设∠HDC=∠ABH=x,可得∠HDG=∠CDG=∠FBH=∠ABF=x,则有∠CDG+∠CGD=90°,由∠CGD=∠BGE,可得∠BGE+∠FBE=90°,即BE⊥DE;
(2) 由∠A=∠C=90°可以得到∠HDC=∠ABH,设∠HDC=∠ABH=x,可得∠EBH=∠ABE=x,则∠DGE=90°+x,∠CDM=180°-x,由DF平分∠CDM,则∠CDF= (180°-x),所以∠CDF+∠HDC= (180°-x),然后运用同位角相等,即可证明;
(3)设∠BFA=∠CFD=x,由∠A=∠C=90°可以得到∠EBC=∠FDN=90°+x,由根据题意可得:∠EDF=∠EBF=(90°+x);且∠BFD=180°+x,最后用四边形内角和,求出∠BED=90°,完成证明.
解:(1)BE⊥DE,理由如下:
∵∠A=∠C=90°,∠DHC=∠BHA
∴∠HDC=∠ABH
设∠HDC=∠ABH=x
∵∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E
∴∠HDG=∠CDG=∠FBH=∠ABF=x
又∵∠CDG+∠CGD=90°,∠CGD=∠BGE
∴∠BGE+∠FBE=90°,即BE⊥DE;
(2)
DF∥AB,理由如下:
∵∠A=∠C=90°,∠DHC=∠BHA
∴∠HDC=∠ABH
∵∠A=∠C=90°,∠DHC=∠BHA
∴∠HDC=∠ABH
∵BE平分∠ABH,
∴∠EBH=∠ABE=x
∴∠DGE=90°+x
∵∠CDM=180°-x,DF平分∠CDM
∴∠CDF= (180°-x)=90°-x
∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-x+x=90°+x
∴∠DGE=∠HDF
∴DF∥AB
(3)
BE⊥DE,证明如下:
设∠BFA=∠CFD=x,
∵∠A=∠C=90°
∴∠EBC=∠FDN=90°+x,
∵∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E
∴∠EDF=∠EBF=(90°+x)
又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x
∴∠BFD=360°-(90°+x)-(90°+x)-(180°-x)=90°
即BE⊥DE
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【题目】如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合,得到折痕MN,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到MN上的点F处,折痕AP交MN于E;延长PF交AB于G.求证:
(1)△AFG≌△AFP;
(2)△APG为等边三角形.
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【题目】三角形ABC的三边长分别为6 cm、7.5 cm、9 cm,三角形DEF的一边长为4 cm.当三角形DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似( )
A. 2 cm、3 cm B. 4 cm、5 cm C. 5 cm、6 cm D. 6 cm、7 cm
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【题目】如图,已知:四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠DCB=123°,∠ABC=50°,并且∠BAD+∠CAD=180°,那么∠DAC的度数为_________度.
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【题目】如图,马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目.跷跷板支柱 AB的高度为1.2米.
(1)若吊环高度为2米,支点 A为跷跷板 PQ的中点,狮子能否将公鸡送到吊环上?为什么?
(2)若吊环高度为3.6米,在不改变其他条件的前提下移动支柱,当支点 A移到跷跷板 PQ的什么位置时,狮子刚好能将公鸡送到吊环上?
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,AE=ED,DF=DC,连接EF并延长交BC的延长线于点G.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)若正方形的边长为4,求BG的长.
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【题目】如图,已知EF//AD, ∠1=∠2, ∠BAC=70°.求∠AGD的度数(将以下过程填写完整)
解:∵EF//AD
∴∠2=
又∵∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴ AB//
∴∠BAC+ =180°.
又∵∠BAC=70°
∴∠AGD= .
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【题目】已知一列数:1,―2,3,―4,5,―6,7,… 将这列数排成下列形式:
第1行 1
第2行 -2 3
第3行 -4 5 -6
第4行 7 -8 9 -10
第5行 11 -12 13 -14 15
… …
按照上述规律排下去,那么第10行从左边数第5个数等于
A.50B.-50C.60D.-60
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