Question

【题目】小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论：

(1)如图①, ∠A＝∠C＝90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是 ；

(2)如图②, ∠A＝∠C＝90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是 ；

(3)如图③, ∠A=∠C＝90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是 . 请你完成命题 (3)证明.

Answer 1

【答案】（1）BE⊥DE；　（2）BE//DF；　（3）BE⊥DE.证明见解析.

【解析】

(1)由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠ABH,设∠HDC＝∠ABH=x，可得∠HDG＝∠CDG=∠FBH＝∠ABF=x，则有∠CDG+∠CGD=90°，由∠CGD=∠BGE,可得∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；

(2) 由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠ABH,设∠HDC＝∠ABH=x，可得∠EBH＝∠ABE=x,则∠DGE=90°+x，∠CDM=180°-x，由DF平分∠CDM,则∠CDF= （180°-x），所以∠CDF+∠HDC= （180°-x）,然后运用同位角相等，即可证明；

（3）设∠BFA＝∠CFD=x,由∠A＝∠C＝90°可以得到∠EBC＝∠FDN=90°+x，由根据题意可得：∠EDF＝∠EBF=（90°+x）；且∠BFD=180°+x，最后用四边形内角和，求出∠BED=90°，完成证明.

解：（1）BE⊥DE，理由如下：

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠ABH

设∠HDC＝∠ABH=x

∵∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E

∴∠HDG＝∠CDG=∠FBH＝∠ABF=x

又∵∠CDG+∠CGD=90°，∠CGD=∠BGE

∴∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；

（2）

DF∥AB,理由如下：

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠ABH

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠ABH

∵BE平分∠ABH，

∴∠EBH＝∠ABE=x

∴∠DGE=90°+x

∵∠CDM=180°-x，DF平分∠CDM

∴∠CDF= （180°-x）=90°-x

∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-x+x=90°+x

∴∠DGE=∠HDF

∴DF∥AB

（3）

BE⊥DE，证明如下：

设∠BFA＝∠CFD=x,

∵∠A＝∠C＝90°

∴∠EBC＝∠FDN=90°+x，

∵∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E

∴∠EDF＝∠EBF=（90°+x）

又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x

∴∠BFD=360°-（90°+x）-（90°+x）-（180°-x）=90°

即BE⊥DE