Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，正方形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC．如果正方形EFGH的面积是144cm²，则Rt△ABC的周长是24cm．

Answer 1

分析 首先取AC的中点O，过点O作MN∥PQ，MN∥EH，由题意可得PQ⊥EH，PQ⊥FG，MN⊥EF，MN⊥HG，PO，AL，KQ分别是各半圆的半径，OL，OK是△ABC的中位线，再利用正方形EFGH的面积是144cm²，得出其边长，继而求得答案．

解答 解：取AC的中点O，过点O作MN∥PQ，MN∥EH，
∵四边形EFPQ是矩形，
∴EH∥MN∥FG，EF∥PQ∥GH，∠E=∠H=90°，
∴PQ⊥EH，PQ⊥FG，MN⊥EF，MN⊥HG，
∵AB∥EF，BC∥FG，
∴AB∥PQ∥GH，BC∥MN∥FG，
∴AL=BL，BK=CK，
∴OL=$\frac{1}{2}$BC，OK=$\frac{1}{2}$AB，
∵矩形EFGH的各边分别与半圆相切，
∴ML=$\frac{1}{2}$AB，KQ=$\frac{1}{2}$BC，
∵正方形EFGH的面积是144cm²，
∴正方形EFGH的边长为12cm，
∵AO=NO=CO，
∴AL+LO+AO=MN=12cm，
∴Rt△ABC的周长是：2×（AL+LO+AO）=24（cm）．
故答案为：24．

点评 此题考查了切线的性质、矩形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．