【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6.点P从点A出发,沿折线AB—BC向终点C运动,在AB上以每秒5个单位长度的速度运动,在BC上以每秒3个单位长度的速度运动.点Q从点C出发,沿CA方向以每秒2个单位长度的速度运动.点P、Q两点同时出发,当点P停止时,点Q也随之停止.设点P运动的时间为t秒.
(1)求线段AC的长.
(2)求线段BP的长.(用含t的代数式表示)
(3)设△APQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式.
(4)连结PQ,当PQ与△ABC的一边平行或垂直时,直接写出t的值.
【答案】(1);(2)当0≤t≤2时,BP=10-5t;当2<t≤4时,BP=3·(t-2)=3t-6;(3);(4)t=0或t=4或或或.
【解析】
(1)利用勾股定理可求AC;
(2)由题意可知,当0≤t≤2时,点P在AB上,当2<t≤4时,点P在BC上(不包含B),分情况求解即可;
(3)分情况讨论:①当0≤t≤2时,②当2<t≤4时,分别用t表示出AQ和△APQ中边AQ上的高,利用三角形面积公式求解即可;
(4)分四种情况讨论:①当PQ⊥BC时,②当PQ⊥AB时,③当PQ⊥AC时,④当PQ∥AB时,根据题意,分别利用同角的三角函数相等和相似三角形的判定和性质求解即可.
解:(1)∵∠C=90°,AB=10,BC=6,
∴;
(2)由题意可知,当0≤t≤2时,点P在AB上,当2<t≤4时,点P在BC上(不包含B),
∴当0≤t≤2时,BP=10-5t,
当2<t≤4时,BP=3·(t-2)=3t-6;
(3)分两种情况讨论:
①当0≤t≤2时,过点P作PE⊥AC于点E,
由题意得:AP=5t,CQ=3t,则AQ=8-3t,
∵sin∠PAE=,
∴PE=3t,
∴;
②当2<t≤4时,
∵BP=3t-6,
∴CP=12-3t,
∴,
综上所述:;
(4)分四种情况讨论:
①由题意可得,当PQ⊥BC时,t=0或t=4;
②当PQ⊥AB时,如图,
∵AP=5t,AQ=8-3t,
∴,
∴,
解得:;
③当PQ⊥AC时,如图,
∵AP=5t,AQ=8-3t,
∴,
∴,
解得:;
④当PQ∥AB时,易得△CPQ∽△CBA,如图,
∵CP=12-3t,CQ=3t,
∴,即,
解得:,
综上所述,当t=0或t=4或或或时,PQ与△ABC的一边平行或垂直.
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【题目】如图,已知等边△ABC.
(1)请用圆规和直尺作△ABC的内切圆(要求保留作图痕迹,不必写作法和证明);
(2)若等边△ABC边长为2,求△ABC的内切圆的半径.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弧ED=弧BD,连接ED、BD,延长AE交BD的延长线于点M,过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C.
(1)若OACD,求阴影部分的面积;
(2)求证:DEDM.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,切点为A,BC交⊙O于点D,点E是AC的中点.
(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为2,∠B=45°,AC=4,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,学校准备在教学楼后面搭建一简易矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为18m),另外三边利用学,校现有总长38m的铁栏围成.
(1)若围成的面积为,试求出自行车车棚的长和宽;
(2)能围成面积为的自行车车棚吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A开始,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动(点Q到达点C运动停止).如果点P,Q分别从点A,B同时出发t秒(t>0)
(1)t为何值时,PQ=6cm?
(2)t为何值时,可使得△PBQ的面积等于8cm2?
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【题目】某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元,在整个销售旺季的80天里,日销售量y(kg)与时间第t天之间的函数关系式为(,t为整数),销售单价p(元/kg)与时间第t天之间满足一次函数关系如下表:
(1)直接写出销售单价p(元/kg)与时间第t天之间的函数关系式.
(2)在整个销售旺季的80天里,哪一天的日销售利润最大?最大利润是多少?
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【题目】为提升学生的艺术素养,某校计划开设四门选修课程:声乐、舞蹈、书法、摄影.要求每名学生必须选修且只能选修一门课程,为保证计划的有效实施,学校随机对部分学生进行了一次调查,并将调査结果绘制成如下不完整的统计表和统计图.
学生选修课程统计表
课程 | 人数 | 所占百分比 |
声乐 | 14 | |
舞蹈 | 8 | |
书法 | 16 | |
摄影 | ||
合计 |
根据以上信息,解答下列问题:
(1) , .
(2)求出的值并补全条形统计图.
(3)该校有1500名学生,请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名.
(4)七(1)班和七(2)班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础,学校准备从这4人中随机抽取2人编排“舞蹈”在开班仪式上表演,请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率.
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