Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．

（1）求证：AE⊥BF；
（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；

（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1，

∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，

∴CF=BE，

在Rt△ABE和Rt△BCF中，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），

∠BAE=∠CBF，

又∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠CBF+∠BEA=90°，

∴∠BGE=90°，

∴AE⊥BF．

（2）

解：如图2，根据题意得，

FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°

∵CD∥AB，

∴∠CFB=∠ABF，

∴∠ABF=∠PFB，

∴QF=QB，

令PF=k（k＞0），则PB=2k

在Rt△BPQ中，设QB=x，

∴x2=（x﹣k）2+4k2，

∴x= ，

∴sin∠BQP= = = ．

（3）

解：∵正方形ABCD的面积为4，

∴边长为2，

∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，

∴AN=AB=2，

∵∠AHM=90°，

∴GN∥HM，

∴ = ，

∴ = ，

∴S△AGN= ，

∴S四边形GHMN=S△AHM﹣S△AGN=1﹣ = ，

∴四边形GHMN的面积是 ．

【解析】（1）运用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°求证；（2）△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB求解；（3）先求出正方形的边长，再根据面积比等于相似边长比的平方，求得S△AGN= ，
再利用S四边形GHMN=S△AHM﹣S△AGN求解．