Question

如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）当AB=5，AC=8时，求cos∠E的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接圆心和切点，利用平行，OF⊥CB可证得∠ODF=90°；
（2）把∠E在相应的直角三角形中进行转移，求出其邻边与斜边即可．
解答：（1）证明：如图，连接OD，BD（1分）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠90°，
∴BD⊥AC；（2分）
∵AB=BC，
∴AD=DC；（3分）
∵OA=OB，
∴OD∥BC，（5分）
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD．
∴直线DE是⊙O的切线．

（2）解：作DH⊥AB，垂足为H，则∠EDH+∠E=90°，
又DE⊥OD，
∴∠ODH+∠EDH=90°．
∴∠E=∠ODH．
∵AD=DC，AC=8，
∴AD=4．
在Rt△ADB中，BD==3，
由三角形面积公式得：AB•DH=DA•DB．
即5•DH=3×4，DH=．
在Rt△ODH中，cos∠ODH==，
∴cos∠E=．
点评：当题中已有垂直时，证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明；而求相关角的余弦值，应根据所给条件进行适当转移，注意利用直角三角形面积的不同方式求解．