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如图①,将一张直角三角形纸片△ABC折叠,使点A与点C重合,这时DE为折痕,△CBE为等腰三角形;再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠,这时得到了两个完全重合的矩形(其中一个是原直角三角形的内接矩形,另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形),我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.
(1)如图②,正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗?如果能,请在图②中画出折痕;
(2)如图③,在正方形网格中,以给定的BC为一边,画出一个斜三角形ABC,使其顶点A在格点上,且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形;
(3)若一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形,那么它必须满足的条件是什么?

【答案】分析:(1)应先在三角形的格点中找一个矩形,折叠即可;
(2)根据正方形的边长应等于底边及底边上高的一半可得所求三角形的底边与高相等;
(3)由(2)可得相应结论.
解答:解:(1)


(2)


(3)由(2)可得,若一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形,
那么三角形的一边长与该边上的高相等的直角三角形或锐角三角形.
点评:解决本题的关键是得到相应矩形的边长等于所给三角形的底边与底边上的高的一半的关系.
练习册系列答案
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28、小丽剪了一些直角三角形纸片,她取出其中的几张进行了如下的操作:
操作一:如图1,将Rt△ABC沿某条直线折叠,使斜边的两个端点A与B重合,折痕为DE.
(1)如果AC=6cm,BC=8cm,试求△ACD的周长.
(2)如果∠CAD:∠BAD=4:7,求∠B的度数.
操作二:如图2,小丽拿出另一张Rt△ABC纸片,将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,已知两直角边AC=4cm,BC=8cm,你能求出CD的长吗?
操作三:如图3,小丽又拿出另一张Rt△ABC纸片,将纸片折叠,折痕CD⊥AB.你能证明:BC2+AD2=AC2+BD2吗?

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操作一:如图1,将Rt△ABC沿某条直线折叠,使斜边的两个端点A与B重合,折痕为 DE.如果∠CAD:∠CDA=1:2,CD=1cm,试求AB的长.
操作二:如图2,小明拿出另一张Rt△ABC纸片,将其折叠,使直角边AC落在斜边AB上,且与AE重合,折痕为AD.已知两直角边AC=6cm,BC=8cm,请你求出CD的长.
操作三:如图3,小明又拿出另一张Rt△ABC纸片,将纸片折叠,折痕CD⊥AB于D.请你说明:BC2+AD2=AC2+BD2

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(2)设正方形的边长为a,请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小直角三角形的面积S填入下表:

(3)在条件(2)下,请你猜想:分割所得的最小直角三角形的面积S与分割次数n有什么关系?用数学表达式表示出来.

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