Question

15．如图，直线PQ与⊙O相交于点A、B，BC是⊙O的直径，BD平分∠CBQ交⊙O于点D，过点D作DE⊥PQ，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）连结AD，已知BC=10，BE=2，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，由OD=OB得∠OBD=∠ODB，由BD平分∠CBQ得∠OBD=∠DBQ，由于∠EBD+∠BDE=90°，则∠EDB+∠BDO=90°，所以DE⊥OD，于是根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
（2）连结CD，如图，证明Rt△CBD∽Rt△DBE，然后利用相似比计算BD的长．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵BD平分∠CBQ，
∴∠OBD=∠DBQ，
∵DE⊥PQ，
∴∠BED=90°，
∴∠EBD+∠BDE=90°，
∴∠EDB+∠BDO=90°，即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连结CD，如图，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠CBD=∠DBE，
∴Rt△CBD∽Rt△DBE，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BC}{BD}$，即$\frac{BD}{2}$=$\frac{10}{BD}$，
∴BD=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．