Question

3．在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴正半轴上任意一点，点B是第一象限角平分线上一点（不含原点），AB=2，∠AOB=45°，以AB为一边作正△ABC，则
（1）△AOB外接圆的半径是$\sqrt{2}$．
（2）点C到原点O距离的取值范围是$1+\sqrt{2}-\sqrt{3}≤OC≤1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）设△AOB的外接圆为⊙M，连接BM并延长交⊙M于点D，连接AD，然后只需证明△ABD为等腰直角三角形即可求得△AOB外接圆的半径．
（2）利用（1）的结论，设法证明△AOB外接圆的圆心到点O与点C的距离为定值，进而分析点C到原点O的距离的取值范围．

解答 解：（1）如下图所示：设△AOB的外接圆为⊙M，连接BM并延长交⊙M于点D，连接AD           

∵BD为⊙M的直径，
∴∠BAD=90°，
又∵∠BOA=∠BDA=45°（同弧所对的圆周角相等），
∴△ABD为等腰直角三角形．
∴AB=AD=2
∴BD=2$\sqrt{2}$
即：△AOB外接圆的半径是$\sqrt{2}$
故答案为：$\sqrt{2}$
（2）由（1）可知：△OAB的外接圆的半径为$\sqrt{2}$
设△OAB的外接圆的圆心为点M，则OM=$\sqrt{2}$，过点M做AB的垂直平分线，垂足为点N，连接AN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB的垂直平分线必经过点C
由垂径定理得：AN=$\frac{1}{2}$AB=1，MN=$\sqrt{2}$
∴由勾股定理得：MN=1，CN=$\sqrt{3}$，
∴CM=1+$\sqrt{3}$，
即：OM与CM的长度是定值，故只有点O、M、C三点共线时OC的长有最大值与最小值．
∴OC 的最小值为1+$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$，OC的最大值为1+$\sqrt{2}+\sqrt{3}$，
即：1+$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$≤OC≤1+$\sqrt{2}+\sqrt{3}$，
故答案为：1+$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$≤OC≤1+$\sqrt{2}+\sqrt{3}$，

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质等问题，解（1）题的关键是将已知数据45°、2与△AOB的外接圆的半径或直径组合在同一个特殊三角形之中．解（2）的关键是证明OM与CM的长为定值．