Question

【题目】先阅读下列材料，再解答下列问题：

题：分解因式：

解：将“”看成整体，设，则原式＝

再将“”还原，得原式＝.

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法解答下列问题：

(1)因式分解： ； .

(2)因式分解： ； .

(3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个正整数的平方．

Answer 1

【答案】(1)；.(2)；；（3）证明见解析.

【解析】

（1）把（2a+b），（3a+2b），(2a+3b)分别看作一个整体，直接利用平方差公式因式分解即可；

（2）把（x-y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；把(a+b) 看作一个整体，代入后利用完全平方公式因式分解即可；

（3）将原式转化为（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．

(1)因式分解：=；

=

=.

(2)因式分解：(x-y+1)2；

令A=a+b，则原式变为A（A-4）+4=A2-4A+4=（A-2）2，

故（a+b）（a+b-4）+4=（a+b-2）2.

(3) （n+1）（n+2）（n2+3n）+1

=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1

=（n2+3n）（n2+3n+2）+1

=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1

=（n2+3n+1）2，

∵n为正整数，

∴n2+3n+1也为正整数，

∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．