Question

【题目】某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

Answer 1

【答案】（1）y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数；（2）每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元.

【解析】

（1）先求出每件商品的售价上涨x元后的月销量，再根据“月利润=每件利润月销量”列出等式即可；根据x为正整数，和每件售价不能高于65元写成x的取值范围；

（2）根据题（1）的结论，利用二次函数图象的性质求解即可.

（1）设每件商品的售价上涨x元，则商品的售价为元，月销量为件

由题意得：

整理得：

由每件售价不能高于65元得：，即

又因x为正整数

则x的取值范围为：，且x为正整数

综上，y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数；

（2）的对称轴为：

则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小

因x为正整数，则当时，，y取得最大值；当时，，y取得最大值，比较这两个最大值即可得出最大利润

将代入得：，此时售价为

将代入得：，此时售价为

答：每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元.