Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°，且DC＝2AB，分别以DA、AB、BC为一边向梯形外作正方形，其面积分别为S₁、S₂、S₃，则S₁、S₂、S₃之间的关系是________．

Answer 1

答案：
解析：

答案：S2＝S1＋S3． 　　分析：因为S1＝AD2，S2＝AB2，S3＝BC2，∠ADC＋∠BCD＝90°，若将∠ADC与∠BCD平移到一个三角形(相应的边也平移到一个三角形)中，则可由勾股定理建立S1、S2、S3之间的关系． 　　解：过点A作AM∥BC，交CD于点M(如图)， 　　则∠AMD＝∠BCD，AM＝BC． 　　因为∠ADC＋∠BCD＝90°， 　　所以∠ADM＋∠AMD＝90°． 　　所以∠DAM＝90°． 　　在Rt△DAM中，由勾股定理，得 　　AD2＋AM2＝DM2 　　由条件及辅助线的作法可知，AB＝MC． 　　又因为DC＝2AB， 　　所以DC＝2MC． 　　所以DM＝DC＝AB． 　　因为S1＝AD2，S2＝AB2＝DM2，S3＝BC2＝AM2， 　　所以S2＝S1＋S3． 　　点评：其实，勾股定理的推导过程，大多是利用图形中面积的等量关系来证明的．而条件告诉我们∠ADC＋∠BCD＝90°，这就提示我们通过作平行线(过点A作BC的平行线或过点B作AD的平行线)构造出直角三角形，利用勾股定理进行解答．