Question

2．如图，在平面直角坐标系内，函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，4），B（a，b）过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，连结AD，CB，CD．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）求证：DC∥AB；
（3）当AD=BC时，求直线AB的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）根据题意AC垂直于x轴，由A的坐标得到C（1，0），设出点D坐标和反比例函数解析式，结合点A（1，4）在函数图象上，得到反比例函数解析式，从而得到ab=4，再根据△ABD的面积为4，根据底为BD，高为AM，利用三角形的面积公式表示出三角形ABD的面积，由此三角形面积为4列出关系式，将ab=4代入可得出a的值，进而确定出b的值，即可得到点B的坐标；
（2）设BD，AC交于点E，利用锐角三角函数的定义得出tan∠EAB=tan∠ECD，进而可得出结论；
（3）根据DC∥AB，当AD=BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时，由中心对称的性质得出a的值，故可得出点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的函数表达式即可；
②当AD与BC所在直线不平行时，由轴对称的性质得：BD=AC，求出a的值，故可得出点B的坐标，
设直线AB的函数表达式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，利用待定系数法求出直线AB的函数表达式即可．

解答 解：（1）根据题意A（1，4），得C（1，0），
又∵B（a，b），
故设点D（0，b），
∵A（1，4）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴将x=1，y=4代入反比例函数解析式得：4=$\frac{m}{1}$，即m=4，
∵根据点B（a，b）在反比例函数图象上，
∴将x=a，y=b代入反比例函数解析式得：ab=4，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AM=$\frac{1}{2}$×a×（4-b）=4，即4a-ab=4a-4=8，
∴a=3，b=$\frac{4}{3}$，
则点B的坐标为（3，$\frac{4}{3}$）；

（2）解法1，设BD，AC交于点E，
∵在Rt△AEB中，tan∠EAB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{a-1}{4-\frac{4}{a}}$=$\frac{a}{4}$；
在Rt△CED中，tan∠ECD=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{\frac{1}{4}}{a}$=$\frac{a}{4}$；
∴∠EAB=∠ECD；
∴DC∥AB．
解法2，设BD，AC交于点E，根据题意，可得B点的坐标为（a，$\frac{4}{a}$），D点的坐标为（0，$\frac{4}{a}$），E点的坐标为（1，$\frac{4}{a}$）．
∵a＞0，AE=4-$\frac{4}{a}$，CE=$\frac{4}{a}$，EB=a-1，ED=1；
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{4-\frac{4}{a}}{\frac{4}{a}}$=a-1，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{EB}{ED}$=a-1．
又∵∠AEB=∠CED；
∴△AEB∽△CED
∴∠EAB=∠ECD；
∴DC∥AB．

（3）解法1，∵DC∥AB，
∴当AD=BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时，由中心对称的性质得：BE=DE，则a-1=1，得a=2．
∴点B的坐标是（2，2）．
设直线AB的函数表达式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，得$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{2=2k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$．
∴直线AB的函数表达式是y=-2x+6．
②当AD与BC所在直线不平行时，由轴对称的性质得：BD=AC，
∴a=4，
∴点B的坐标是（4，1）．
设直线AB的函数表达式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$．
∴直线AB的函数表达式是y=-x+5．
综上所述，所求直线AB的函数表达式是y=-2x+6或y=-x+5．
解法2，当AD=BC时，AD²=BC²．
在Rt△AED中，AD²=AE²+DE²；  在Rt△BEC中，BC²=BE²+CE²
∴（4-$\frac{4}{a}$）²+12=（a-1）²+（$\frac{4}{a}$）²，
整理得：a³-2a²-16a-32=0，
∴（a-2）（a+4）（a-4）=0；
∴a=2或a=-4或a=4，
∵a＞1，
∴a=2或a=4．
①当a=2时，点B的坐标是（2，2）．
设直线AB的函数表达式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{2=2k+b}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$．
∴直线AB的函数解析式是y=-2x+6．
②当a=4时，点B的坐标是（4，1）．
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$．
∴直线AB的函数表达式是y=-x+5．
综上所述，所求直线AB的函数表达式是y=-2x+6或y=-x+5．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式等知识，难度适中．