Question

1．已知抛物线l₁：y=-x²+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线l₂经过点A，与x轴的另一个交点为E（4，0），与y轴交于点D（0，-2）．
（1）求抛物线l₂的解析式；
（2）点P为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛物线l₁于点M，交抛物线l₂于点N．
①当四边形AMBN的面积最大时，求点P的坐标；
②当CM=DN≠0时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）令抛物线l₁：y=0，可求得点A和点B的坐标，然后设设抛物线l₂的解析式为y=a（x+1）（x-4），将点D的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）①由点A和点B的坐标可求得AB的长，设P（x，0），则M（x，-x²+2x+3），N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）．然后依据S_AMBN=$\frac{1}{2}$AB•MN列出S与x的函数关系，从而可得到当S有最大值时，x的值，于是可得到点P的坐标；②CM与DN不平行时，可证明四边形CDNM为等腰梯形，然后可证明GM=HN，设P（x，0），则M（x，-x²+2x+3），N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）．从而可列出关于x的方程，于是可求得点P的坐标；当CM∥DN时，四边形CDNM为平行四边形．故此DC=MN=5，从而得到关于x的方程，从而可求得点P的坐标．

解答 解：（1）∵令-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）．
设抛物线l₂的解析式为y=a（x+1）（x-4）．
∵将D（0，-2）代入得：-4a=-2，
∴a=$\frac{1}{2}$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）①如图1所示：

∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4．
设P（x，0），则M（x，-x²+2x+3），N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）．
∵MN⊥AB，
∴S_AMBN=$\frac{1}{2}$AB•MN=-3x²+7x+10（-1＜x＜3）．
∴当x=$\frac{7}{6}$时，S_AMBN有最大值．
∴此时P的坐标为（$\frac{7}{6}$，0）．
②如图2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM与DN不平行．

∵DC∥MN，CM=DN，
∴四边形CDNM为等腰梯形．
∴∠DNH=∠CMG．
在△CGM和△DNH中$\left\{\begin{array}{l}{∠DNH=∠CMG}\\{∠DHN=∠CGM}\\{DN=CM}\end{array}\right.$，
∴△CGM≌△DNH．
∴MG=HN．
∴PM-PN=1．
设P（x，0），则M（x，-x²+2x+3），N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）．
∴（-x²+2x+3）+（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）=1，解得：x₁=0（舍去），x₂=1．
∴P（1，0）．
当CM∥DN时，如图3所示：

∵DC∥MN，CM∥DN，
∴四边形CDNM为平行四边形．
∴DC=MN．=5
∴-x²+2x+3-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）=5，
∴x₁=0（舍去），x₂=$\frac{7}{3}$，
∴P（$\frac{7}{3}$，0）．
总上所述P点坐标为（1，0），或（$\frac{7}{3}$，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰梯形的性质、全等三角形的性质、平行四边形的性质和判定，依MN=DC=5、PM-PN=1列出关于P的横坐标x的方程是解题的关键．