Question

3．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD．
（1）求证：△ADO∽△ACB．
（2）若⊙O的半径为1，求证：AC=AD•BC．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的切线，得到OD⊥AB，于是得到∠C=∠ADO=90°，问题可证；
（2）由△ADO∽△ACB列比例式即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠C=∠ADO=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB；

（2）解：由（1）知：△ADO∽△ACB．
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{OD}{BC}$，
∴AD•BC=AC•OD，
∵OD=1，
∴AC=AD•BC．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟记定理是解题的关键．