Question

（2013•闸北区二模）已知：如图，抛物线y=x²-2x+3与y轴交于点A，顶点是点P，过点P作PB⊥x轴于点B．平移该抛物线，使其经过A、B两点．
（1）求平移后抛物线的解析式及其与x轴另一交点C的坐标；
（2）设点D是直线OP上的一个点，如果∠CDP=∠AOP，求出点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线解析式求出点A、B、P的坐标，再根据平移变换不改变抛物线的形状，设平移后的抛物线解析式为y=x²+bx+c，然后把点A、B的坐标代入求出b、c的值，从而得到平移后的抛物线解析式，再令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点C的坐标；
（2）先求出直线OP的解析式，然后分点D在第一象限时，根据内错角相等两直线平行求出CD₁∥y轴可得CD₁⊥x轴，从而求出点D的横坐标坐标是3，然后代入直线OP的解析式，计算即可求出点D₁的坐标；点D在第三象限时，求出∠CD₁P=∠CD₂P，根据等角对等边可得CD₁=CD₂，设D₂（x，2x），然后利用勾股定理列式计算求出x的值，即可得解．

解答：解：（1）令x=0，则y=3，
∴点A的坐标为（0，3），
∵y=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴顶点P（1，2）、B（1，0），
设平移后抛物线的解析式为y=x²+bx+c，
将点A（0，3）、B（1，0）的坐标代入得，

c=3 1+b+c=0

，
解得

b=-4 c=3

，
∴平移后抛物线的解析式为抛物线y=x²-4x+3，
令y=0，则x²-4x+3=0，
解得，x₁=1，x₂=3，
所以，点C（3，0）；

（2）如图，直线OP过P（1，2），
所以，直线OP解析式为y=2x，
①点D在第一象限时，∵∠CD₁P=∠AOP，
∴CD₁∥y轴，
∴CD₁⊥x轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，都是3，
x=3时，y=2×3=6，
∴点D₁（3，6），
②点D在第三象限时，
∵∠CD₁P=∠AOP，∠CD₂P=∠AOP，
∴∠CD₁P=∠CD₂P，
∴CD₁=CD₂，且CD₂=CD₁=6，
设D₂（x，2x），则

(x-3)2+(2x)2

=6，
整理得，5x²-6x-27=0，
解得x₁=3（为点D₁，舍去），x₂=-

9

5

，
所以，点D₁（3，6）、D₂（-

9

5

，-

18

5

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，平移只改变只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，平行线的判定与性质，等角对等边的性质，综合题，但难度不大，（2）要注意分情况讨论．