Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinA=$\frac{3}{5}$，动点D从A点出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过点D作AB的垂线，交折线AC-CB于点E，以DE为直角边向右作等腰直角三角形DEF，∠DEF=90°，设运动时间为t（秒），△DEF与△ABC重叠部分的面积为S（平方单位）．
（1）求BC的长；
（2）当点F落在BC边上时，求t的值；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）动点G从点B出发，沿BA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，过点G作AC的平行线l，若点D、G同时出发，当有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当t为何值时，直线l经过△DEF三边中一边的中点．

Answer 1

分析 （1）构造直角三角形，用三角函数计算出CG，再用勾股定理计算即可；
（2）由题意用CE=FE建立方程即可；
（3）分三种情况用面积和差进行计算即可，
（4）分三种情况过DE 的中点，过DF中点，过EF中点，用三角函数计算即可．

解答 解：（1）如图，

过点C作CG⊥AB于点G，
∵在△ABC中，AB=AC=10，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴CG=AC•sinA=6，
∴AG=$\sqrt{A{C}^{2}-C{G}^{2}}$=8，
∴BG=AB-AG=2，
∴BC=$\sqrt{C{G}^{2}+B{G}^{2}}$=2$\sqrt{10}$；
（2）当点F落在BC边上时，CE=FE，
∴$\frac{3}{4}$t=10-$\frac{5}{4}$t，
解得：t=5；
（3）当0＜t＜≤5时，如图，

AD=t，DE=$\frac{3}{4}$t，
∴S=S_△DEF=$\frac{1}{2}$×$（\frac{3}{4}t）^{2}$=$\frac{9}{32}{t}^{2}$，
当5＜t＜≤8时，如图2，

EF=DE=$\frac{3}{4}t$，GF=$\frac{3}{4}$t-（10-t），HM=[$\frac{3}{4}$t-（10-t）]×$\frac{3}{4}$，
∴S=S_△DEF-S_△FGH=$\frac{9}{32}{t}^{2}-\frac{1}{2}[\frac{3}{4}t-（10-\frac{5}{4}t）]^{2}×\frac{3}{4}$=-$\frac{39}{32}{t}^{2}+15t-\frac{75}{2}$
当8＜t＜≤10时，如图3，

DE=3（10-t），HM=（10-t）×$\frac{3}{4}$
∴S=S_△DEH=$\frac{1}{2}$×3×（10-t）（10-t）×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{8}{t}^{2}-\frac{45}{2}t+\frac{225}{2}$，
（4）∵直线l经过△DEF三边中一边的中点，
当直线l经过DF的中点时，$\frac{\frac{3}{8}t}{\frac{3}{8}t+（2t-10）}=\frac{3}{4}$，
∴t=$\frac{16}{3}$
当直线l经过DE的中点时，$\frac{\frac{3}{8}t}{2t-10}$=$\frac{3}{4}$，
∴t=$\frac{20}{3}$
当直线l经过EF的中点时，$\frac{3}{8}t=10-t$，
∴t=$\frac{80}{11}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形面积的计算，解本题的关键是画出图形，用没面积的和差是解本题的难点．