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6.已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c(b,c为常数)与x轴交于点A(-1,0)和点B(x0,0).
(1)若x0=5,求此时抛物线的解析式;
(2)设m=bc,若m取最小值,求此时抛物线的解析式;
(2)若自变量x的值满足c≤x≤c+$\frac{1}{2}$,与其对应的函数值y的最小值为$-\frac{1}{2}$,求此时抛物线的解析式.

分析 (1)把A(-1,0),B(5,0)代入y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c转化为解方程组即可.
(2)把A(-1,0)代入代入y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c,得0=$\frac{1}{2}$-b+c,推出b=$\frac{1}{2}$+c,推出m=bc=($\frac{1}{2}$+c)c=c2+$\frac{1}{2}$c=(c+$\frac{1}{4}$)2-$\frac{1}{16}$,可知c=-$\frac{1}{4}$时,m有最小值,由此即可解决问题.
(3)分三种情形讨论①当x=-($\frac{1}{2}$+c)时,y取得最小值-$\frac{1}{2}$,则有$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2}$+c)2-($\frac{1}{2}$+c)2+c=-$\frac{1}{2}$,解得c=±$\frac{1}{2}$,经检验c=$\frac{1}{2}$不符合题意舍弃,推出c=-$\frac{1}{2}$.
②当x=c时,y取得最小值-$\frac{1}{2}$,则有$\frac{1}{2}$c2+($\frac{1}{2}$+c)c+c=-$\frac{1}{2}$,整理得3c2+3c+1=0,△<0,无解.③当x=($\frac{1}{2}$+c)时,y取得最小值-$\frac{1}{2}$,列出方程解方程即可.

解答 解:(1)把A(-1,0),B(5,0)代入y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-b+c=0}\\{\frac{25}{2}+5b+c=0}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$,
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-2x+$\frac{3}{2}$;

(2)把A(-1,0)代入代入y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c,得0=$\frac{1}{2}$-b+c,
∴b=$\frac{1}{2}$+c,
∴m=bc=($\frac{1}{2}$+c)c=c2+$\frac{1}{2}$c=(c+$\frac{1}{4}$)2-$\frac{1}{16}$,
∵c=-$\frac{1}{4}$时,m有最小值,
∴c=-$\frac{1}{4}$,b=$\frac{1}{4}$,
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$;

(3)∵抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2+($\frac{1}{2}$+c)x+c,
∴对称轴x=-($\frac{1}{2}$+c),
又∵c≤x≤c+$\frac{1}{2}$,
①当x=-($\frac{1}{2}$+c)时,y取得最小值-$\frac{1}{2}$,
则有$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2}$+c)2-($\frac{1}{2}$+c)2+c=-$\frac{1}{2}$,
解得c=±$\frac{1}{2}$,
经检验c=$\frac{1}{2}$不符合题意舍弃,
∴c=-$\frac{1}{2}$.
②当x=c时,y取得最小值-$\frac{1}{2}$,
则有$\frac{1}{2}$c2+($\frac{1}{2}$+c)c+c=-$\frac{1}{2}$,
整理得3c2+3c+1=0,△<0,无解.
③当x=($\frac{1}{2}$+c)时,y取得最小值-$\frac{1}{2}$,
则有$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2}$+c)2+($\frac{1}{2}$+c)2+c=-$\frac{1}{2}$,
解得c=-$\frac{1}{2}$或-$\frac{7}{6}$
综上所述,抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{1}{2}$或y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{2}{3}$x-$\frac{7}{6}$.

点评 本题考查二次函数与x轴的交点问题、二次函数的最值问题、待定系数法等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.

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