Question

平面直角坐标系与线段和的最值问题：
（1）已知点M（3，2），N（1，-1），点P在y轴上，求使得△PMN的周长最小的点P的坐标；
（2）等腰梯形ABCD放置在如图所示的直角平面坐标系中，已知CD∥AB，CD=3，AB=5，BC=

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，直线AC交y轴于E，动点P在线段EC上运动，求点P到y轴的距离与点P到点N（2，6）的距离之和的最小值，并求出此时的点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）画出直角坐标系，描出M、N两点，再作出M关于y轴的对称点M′，连接NM′，与y轴相交于点P，则P点即为所求，用待定系数法求出过NM′两点直线的解析式，再求出直线与y轴的交点即为P点的坐标；
（2）作出点N关于直线AE的对称点N′，CH⊥AB，过N′向y轴作垂线，交y轴于点Q，交直线AF于点P，则QN′即为点P到y轴的距离与点P到点N的距离之和的最小值，分别求出A、B、C、D四点的坐标，用待定系数法求出直线AE的解析式，根据线段对称的性质即可求出N′的坐标，由N′点的坐标设出P点坐标，代入直线AC的解析式即可．

解答：解：（1）如图所示，作出M关于y轴的对称点M′，连接NM′，与y轴相交于点P，则P点即为所求，
设过NM′两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
则

2=-3k+b -1=k+b

，解得k=-

3

4

，b=-

1

4

，
故此一次函数的解析式为y=-

3

4

x-

1

4

，
因为b=-

1

4

，所以P点坐标为（0，-

1

4

）；

（2）作出点N关于直线AE的对称点N′，CH⊥AB，过N′向y轴作垂线，交y轴于点Q，交直线AF于点P，则QN′即为点P到y轴的距离与点P到点N的距离之和的最小值，
∵等腰梯形ABCD中，CD∥AB，CD=3，AB=5，BC=

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，
∴OA=HB=1，
∴A（-1，0），B（4，0）
∴CH=

BC2-HB2

=

( 17 )2-12

=4，
∴D（0，4）、C（3，4），
设直线AE的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

4=3k+b 0=-k+b

，解得k=1，b=1，
∴直线AE的解析式为y=x+1，
∴N′点的坐标为（5，3），
∴QN′=5；
设P点坐标为（a，3），代入直线y=x+1得，3=a+1，解得a=2，
∴P点坐标为（2，3）．

点评：本题考查的是最短路线问题及用待定系数法求一次函数的解析式、梯形的性质，难度较大．